[論文レビュー] Coding Theorems for Quantum Channels

A. S. Holevo|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 158

ひとこと要約

この論文は、量子チャネルを介した古典的情報伝送について、包括的かつ自己完結的な取り扱いを提供し、古典的符号化定理の量子版を確立する。一般のチャネル、特に無限大や連続的なアルファベットを含むものに対し、量子エントロピー限界の達成可能性を証明し、量子ガウスチャネルの容量を導出する。古典的情報理論とは対照的に根本的な相違点を強調しつつ、最近の進展と未解決の問題にも言及する。

ABSTRACT

The more than thirty years old issue of the (classical) information capacity of quantum communication channels was dramatically clarified during the last years, when a number of direct quantum coding theorems was discovered. The present paper gives a self contained treatment of the subject, following as much in parallel as possible with classical information theory and, on the other side, stressing profound differences of the quantum case. An emphasis is made on recent results, such as general quantum coding theorems including cases of infinite (possibly continuous) alphabets and constrained inputs, reliability function for pure state channels and quantum Gaussian channel. Several still unsolved problems are briefly outlined.

研究の動機と目的

• 古典的情報理論に類似した、古典的情報伝送のための厳密で自己完備なフレームワークを確立すること。
• 特にエントロピー限界の達成可能性に関連する長年の未解決問題を解消すること。
• 量子ガウスチャネルおよび無限大または連続的なアルファベットを持つチャネルを分析し、古典的符号化定理を量子ドメインへと拡張すること。
• 古典的および量子的情報理論の間の根本的な相違点、特にスーパーアドディティビティと信頼性の文脈において強調すること。
• 量子情報容量における主要な未解決問題を特定し、量子状態伝送の直接符号化定理を概説すること。

提案手法

• ヒルベルト空間における密度演算子と量子状態の形式的取り扱いにより、量子チャネルを入力状態から出力状態へのアフィン写像としてモデル化する。
• ボーンの法則と量子決定ルール（正の作用素値測度）を用いて、量子測定と検出をモデル化する。
• 量子相互情報量を導出し、古典的相互情報量に類似したチャネル容量を決定する主要な量として用いる。
• 漸近的解析と大偏差技術を適用して符号化定理を証明し、特に記憶なしおよびガウス型チャネルに特化する。
• 連続時間の量子ガウス過程の極限を検討し、信号と雑音を正準交換関係を満たす量子確率過程としてモデル化する。
• スペクトル定理と密度演算子の純粋状態への分解に依拠して、スーパーアドディティビティおよび容量限界の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的情報は、量子チャネルを介してどの程度の最大レートで信頼性を持って伝送可能か？
• RQ2 無限大または連続的なアルファベットを持つチャネルに対しても、量子エントロピー限界が容量限界として達成可能か？
• RQ3 量子ガウスチャネルの容量は、その古典的類似物と比べてどのように異なるのか？正確な表現は何か？
• RQ4 スーパーアドディティビティは量子チャネル容量にどのような役割を果たし、実用的な符号化方式で活用可能か？
• RQ5 量子チャネルにおける誤り確率の根本的限界は何か？信頼性関数とどのように関係するか？

主な発見

• 量子エントロピー限界は、無限大または連続的なアルファベットを持つ一般の量子チャネルに対しても、チャネル容量として達成可能である。
• 量子ガウスチャネルの容量は、時間の増大に伴う極限において導出され、並列チャネル分解と漸近的に同等であることが示された。
• 古典的情報の量子チャネルにおける厳密なスーパーアドディティビティが確認され、もつれ状態の入力が個々のチャネル容量の和を上回る容量をもたらす可能性を示唆する。
• 純粋状態チャネルでは、信頼性関数が下限で抑えられ、誤り確率の下限が存在すると予想され、古典的球 Packing 界に類似している。
• 完全な量子状態伝送のための直接符号化定理は未解決のままであるが、暫定的な逆定理が提案されている。
• 量子ガウス波形チャネルでは、量子交換関係形式が対角化不能であるため、古典的還元法による容量導出の厳密な証明が存在しない。