[論文レビュー] Enumerating Markov Equivalence Classes of Acyclic Digraph Models

Steven B. Gillispie, Perlman, Michael D.|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 31被引用数 73

ひとこと要約

本稿では、PearlとVermaの同値基準を用いて、有向非巡回グラフ（DAG）のマルコフ同値類の計算的列挙を、最適化された順序付きアルゴリズムを用いて実行する。主な発見は、同値類の数とDAGの数の比が漸近的に約0.267に収束すること、クラスサイズとエッジ分布はそれぞれガウス的および不規則なパターンを示すことである。

ABSTRACT

Graphical Markov models determined by acyclic digraphs (ADGs), also called directed acyclic graphs (DAGs), are widely studied in statistics, computer science (as Bayesian networks), operations research (as influence diagrams), and many related fields. Because different ADGs may determine the same Markov equivalence class, it long has been of interest to determine the efficiency gained in model specification and search by working directly with Markov equivalence classes of ADGs rather than with ADGs themselves. A computer program was written to enumerate the equivalence classes of ADG models as specified by Pearl & Verma's equivalence criterion. The program counted equivalence classes for models up to and including 10 vertices. The ratio of number of classes to ADGs appears to approach an asymptote of about 0.267. Classes were analyzed according to number of edges and class size. By edges, the distribution of number of classes approaches a Gaussian shape. By class size, classes of size 1 are most common, with the proportions for larger sizes initially decreasing but then following a more irregular pattern. The maximum number of classes generated by any undirected graph was found to increase approximately factorially. The program also includes a new variation of orderly algorithm for generating undirected graphs.

研究の動機と目的

• 有向非巡回モデルのマルコフ同値類を体系的に列挙し、モデル指定と探索効率を向上させること。
• 10頂点までのDAGについて、エッジ数とクラスサイズによる同値類の分布を分析すること。
• 未解決の順序付きアルゴリズムの新規変種を考案・適用し、同値類列挙の基盤として無向グラフを生成すること。
• 1つの無向グラフから生成可能な同値クラスの最大数を特定し、階乗的増加を観察すること。

提案手法

• PearlとVermaのマルコフ同値基準に基づくコンピュータプログラムを実装し、DAGを同値類に分類すること。
• 無向グラフの生成に適応された順序付きアルゴリズムを、効率的な同値類列挙を支援する新規変種に拡張すること。
• 10頂点までのすべてのDAGを列挙し、同値基準を用いてマルコフ同値類にグループ化すること。
• エッジ数とクラスサイズによる同値類の統計的分析を実施し、分布パターンと漸近的挙動を評価すること。
• 1つの無向グラフから生成可能な同値クラスの最大数を計算し、概ね階乗的増加であることが判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数が増加する際、マルコフ同値類の数とDAGの数の比はどのように漸近するか？
• RQ2 DAGのエッジ数に応じて同値類はどのように分布するか？
• RQ3 クラスサイズの頻度分布はどのようなものか？予測可能なパターンを示すか？
• RQ4 1つの無向グラフから生成可能な同値クラスの最大数は何か？また、グラフサイズに伴いどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 新規の順序付きアルゴリズム変種の性能と構造は、従来の手法と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 頂点数が増加するにつれ、マルコフ同値類の数とDAGの数の比は漸近的に約0.267に収束する。
• 同値類のエッジ数による分布はガウス（正規）分布に近づき、クラス間でのエッジ数に中心傾向が存在することを示している。
• サイズ1のクラスが最も頻度が高く、より大きなクラスサイズの頻度は当初減少するが、その後より不規則なパターンに移行する。
• 1つの無向グラフから生成可能な同値クラスの最大数は、頂点数に伴い概ね階乗的に増加する。
• 新規の順序付きアルゴリズム変種は、同値類の列挙を効果的に支援し、10頂点までスケーラブルな計算を可能にした。