[论文解读] Improved Distance Sensitivity Oracles with Subcubic Preprocessing Time

Hanlin Ren|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种新颖且简化的距离敏感查询结构（DSO）构造方法，适用于边权为小整数的有向图与无向图。通过利用一个关键观察：任意预处理时间为P、查询时间为Q的DSO均可通过增加˜O(n²)·Q的预处理时间，转化为查询时间为O(1)的版本，作者实现了有向图的˜O(n².⁷²³³M)预处理时间与无向图的˜O(n².⁶⁸⁶⁵M)预处理时间，两者均支持O(1)查询时间。该方法基于r-截断DSO的递归扩展，并支持路径报告功能，每条长度为ℓ的路径可在O(ℓ)时间内完成查询。

ABSTRACT

We consider the problem of building Distance Sensitivity Oracles (DSOs). Given a directed graph $G=(V, E)$ with edge weights in $\{1, 2, \dots, M\}$, we need to preprocess it into a data structure, and answer the following queries: given vertices $u,v\in V$ and a failed vertex or edge $f\in (V\cup E)$, output the length of the shortest path from $u$ to $v$ that does not go through $f$. Our main result is a simple DSO with $ ilde{O}(n^{2.7233}M)$ preprocessing time and $O(1)$ query time. Moreover, if the input graph is undirected, the preprocessing time can be improved to $ ilde{O}(n^{2.6865}M)$. The preprocessing algorithm is randomized with correct probability $\ge 1-1/n^C$, for a constant $C$ that can be made arbitrarily large. Previously, there is a DSO with $ ilde{O}(n^{2.8729}M)$ preprocessing time and $\operatorname{polylog}(n)$ query time [Chechik and Cohen, STOC'20]. At the core of our DSO is the following observation from [Bernstein and Karger, STOC'09]: if there is a DSO with preprocessing time $P$ and query time $Q$, then we can construct a DSO with preprocessing time $P+ ilde{O}(n^2)\cdot Q$ and query time $O(1)$. (Here $ ilde{O}(\cdot)$ hides $\operatorname{polylog}(n)$ factors.)

研究动机与目标

• 设计一种针对边权为小整数的图更高效且概念更简洁的距离敏感查询结构（DSO）。
• 在保持常数时间查询支持的前提下，将DSO的预处理时间降至立方时间以下。
• 将DSO扩展以支持路径报告查询，且输出时间与路径长度呈线性关系。
• 通过实现更优的预处理时间界限，特别是在无向图方面，超越先前工作。
• 探讨将该方法推广至处理负权边的可行性，尽管这仍是开放挑战。

提出的方法

• 核心方法依赖于一种变换：任意预处理时间为P、查询时间为Q的DSO，可被转换为查询时间为O(1)、预处理时间为P + ˜O(n²)·Q的版本。
• 作者利用快速矩阵乘法技术，从较小的r值开始，递归构造r-截断DSO。
• 对于每一层i，通过使用˜O(n²)个精心选择的查询(uq, vq, fq)扩展前一层Di−1，以捕获更长路径。
• 采用关键顶点击中机制，将长路径分解为可从低层DSO中检索的短子路径。
• 通过存储击中顶点，并递归地从低层DSO中的子路径重建路径，实现路径报告功能。
• 预处理使用随机化算法，以高概率（w.h.p.）保证正确性，基本查询的最终DSO大小为˜O(n²)，启用路径报告后增长至˜O(n²⁺ᵃ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在边权为小整数的图中，实现具有O(1)查询时间的DSO的亚立方预处理时间？
• RQ2 是否可能在改善预处理时间的同时简化现有DSO的构造？
• RQ3 能否进一步降低无向图的预处理时间，使其低于当前的˜O(n².⁶⁸⁶⁵M)界限？
• RQ4 能否在不引入过多空间开销的前提下，将DSO构造扩展以支持高效的路径报告？
• RQ5 鉴于定义兼容的r-截断DSO存在挑战，该技术能否推广至处理负权边？

主要发现

• 论文实现了有向图的˜O(n².⁷²³³M)预处理时间与无向图的˜O(n².⁶⁸⁶⁵M)预处理时间，两者均支持O(1)查询时间。
• 当ω ≈ 2.3728639时，无向图的预处理时间与目前已知最优的全源最短路径（APSP）算法时间˜O(nωM)一致。
• 支持路径报告的DSO版本在路径长度为ℓ时运行时间为O(ℓ)，空间复杂度为˜O(n²⁺ᵃ)，其中a = 0.276724适用于有向图。
• 该构造为随机化方法，以高概率正确（对任意常数c，错误概率为1 − 1/nᶜ）。
• 该方法优于先前已知的˜O(n².⁸⁷²⁹M)预处理时间（针对多项式对数查询时间的DSO）。
• 该方法在概念上比以往构造更简洁，并利用了一种通用变换，可将任意DSO转化为常数查询时间版本。