[論文レビュー] Quantum codes on a lattice with boundary

Sergey Bravyi, Alexei Kitaev|ArXiv.org|Nov 20, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 412

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ2次元格子上に新しいトポロジカルな量子符号を導入する。量子ビットは格子の辺に配置され、安定化子生成子は頂点および面に作用する。論理的量子ビットは格子上のサイクルの相対ホモロジー類によって符号化され、符号距離は同種の境界を結ぶ最短経路によって決定され、開いた表面におけるトポロジカル保護によるフェイルセーフな量子計算を可能にする。

ABSTRACT

A new type of local-check additive quantum code is presented. Qubits are associated with edges of a 2-dimensional lattice whereas the stabilizer operators correspond to the faces and the vertices. The boundary of the lattice consists of alternating pieces with two different types of boundary conditions. Logical operators are described in terms of relative homology groups.

研究の動機と目的

• トーラスコードのようなトポロジカルな量子符号を、境界を持つ格子へと拡張し、トポロジカル保護を維持すること。
• 任意 anyon 濃縮の仕方が異なる2種類の境界タイプ（x境界およびz境界）を定義し、トポロジカル秩序が安定に保たれることを保証すること。
• 論理的演算子と相対ホモロジー群 H₁(Q,V,Z₂) および H₁(Q,V*,Z₂) の間の対応関係を確立し、開いた表面における論理的量子ビット符号化を可能にすること。
• 符号距離を、同種の境界を結ぶ経路の最小長さとして特徴づけ、局所的誤りに対してフェイルセーフであることを保証すること。
• トポロジカルな量子秩序およびanyon統計の観点から、2種類の境界タイプの物理的起源を説明し、剛性制約下で2種類の安定な境界タイプしか存在しないことを示すこと。

提案手法

• 2次元正方形格子の辺に量子ビットを割り当て、交互にx境界およびz境界を配置し、特定の安定化子生成子の欠落によって境界条件を定義する。
• 頂点演算子 Aₛ および面演算子 Bₚ を、それぞれ星領域および面の周囲の辺上で σˣ および σᶻ の積として定義する。境界付近の不完全な面については定義を修正する。
• 相対ホモロジー群 H₁(Q,V,Z₂) および H₁(Q,V*,Z₂) を用いて論理的演算子を分類し、V および V* はそれぞれx境界およびz境界成分を表す。
• 論理的演算子を Y([c],[c*]) = ∏ᵢ∈c σᶻᵢ ∏ⱼ∈c* σˣⱼ として構成し、c および c* はそれぞれ原始格子および双対格子上の1次サイクルである。
• 論理的演算子がすべての安定化子と可換であり、相対ホモロジー類が非自明である場合にのみ非自明に作用することを保証し、論理的情報を保持する。
• 符号距離 d = min{min_{[c]≠0} |supp(c)|, min_{[c*]≠0} |supp(c*)|} を導出する。これは、同種の境界を結ぶ最短経路に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた表面（たとえばトーラス）から境界を持つ表面へのトポロジカルな量子符号の一般化は、どのように可能か？ トポロジカル誤り訂正を維持できるか？
• RQ2 トポロジカルな量子符号における許容される境界条件の種類を決定する物理的およびトポロジカル的制約は何か？
• RQ3 このような符号における論理的量子ビットはどのようにして生じるか？ そして、それを分類する明確な数学的構造（たとえばホモロジー群）は何か？
• RQ4 境界付き符号における符号距離は何かに依存し、誤り訂正能力とどのように関係するか？
• RQ5 トポロジカルな量子秩序を持つ系において、なぜ剛性制約下で2種類の境界タイプ（x境界およびz境界）しか存在しないのか？

主な発見

• 符号に符号化された論理的量子ビットの数は dim H₁(Q,V,Z₂) = dim H₁(Q,V*,Z₂) で与えられ、k個のx境界およびk個のz境界を持つ円盤では k−1 となる。
• n×m 格子に対して符号距離 d は min{n+1, m+1} に等しく、最大 ⌊(d−1)/2⌋ 個の局所的誤りを保護する。
• 論理的演算子は、原始格子および双対格子上のサイクル c および c* に沿ったパウリ演算子の積として構成され、その作用は相対ホモロジー類によって決定される。
• 2種類の境界タイプ（xおよびz）は、それぞれ電気的および磁気的anyonが境界で凝縮できることに対応し、剛性制約下で唯一の安定な境界タイプである。
• この構成は正方形格子に限らず、境界がxおよびzタイプに分割された任意の双対格子ペアを有する表面へと一般化可能である。
• 境界近くのトポロジカル秩序の安定性は、anyon統計によって説明できる：フェルミオン的複合粒子は境界で凝縮できないが、ボソン的anyon（電気的または磁気的励起）は凝縮可能である。