[論文レビュー] Reformulating and Reconstructing Quantum Theory

Lucién Hardy|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 61被引用数 96

ひとこと要約

この論文は、数学的公理を用いて回路フレームワーク内での有限次元量子理論を再定式化し、操作的仮説から量子理論を再構築する。量子理論が鋭さ、情報局所性、トモグラフィー局所性、合成置換可能性の仮説によって一意に特徴づけられ、古典的確率論および他の操作的理論と区別されることを確立する。

ABSTRACT

We provide a reformulation of finite dimensional quantum theory in the circuit framework in terms of mathematical axioms, and a reconstruction of quantum theory from operational postulates. The mathematical axioms for quantum theory are the following: [Axiom 1] Operations correspond to operators. [Axiom 2] Every complete set of physical operators corresponds to a complete set of operations. The following operational postulates are shown to be equivalent to these mathematical axioms: [P1] Sharpness. Associated with any given pure state is a unique maximal effect giving probability equal to one. This maximal effect does not give probability equal to one for any other pure state. [P2] Information locality. A maximal measurement on a composite system is effected if we perform maximal measurements on each of the components. [P3] Tomographic locality. The state of a composite system can be determined from the statistics collected by making measurements on the components. [P4] Compound permutability. There exists a compound reversible transformation on any system effecting any given permutation of any given maximal set of distinguishable states for that system. [P5] Sturdiness. Filters are non-flattening. Hence, from these postulates we can reconstruct all the usual features of quantum theory: States are represented by positive operators, transformations by completely positive trace non-increasing maps, and effects by positive operators. The Born rule (i.e. the trace rule) for calculating probabilitieso follows. A more detailed abstract is provided in the paper.

研究の動機と目的

• 回路フレームワーク内での数学的公理を用いた有限次元量子理論の再定式化。
• 物理的に直感的で操作的根拠を持つ操作的仮説から量子理論を再構築すること。
• 最小限の仮説を特定することで、古典的確率論および他の操作的理論から量子理論を一意に区別すること。
• 量子理論が鋭さ、情報局所性、トモグラフィー局所性、および合成置換可能性の仮説を満たす唯一の理論であることを確立すること。

提案手法

• 回路フレームワークを用いて、量子過程をワイヤー上の操作としてモデル化し、操作をデュオテンソルで表現する。
• 入力空間における部分転置に関して正である「物理的演算子」の概念を導入する。
• チョイ-ヤミォルスキー同型を適用して操作と演算子を関係づけ、トレースに基づく確率計算を可能にする。
• フィデューシャルな準備と結果を用いて変換を完全に分解し、局所的に形式主義を導出する。
• デュオテンソル形式主義を用いてテンソル変換を一般化し、インデックス操作にためのホッピングメトリクスを可能にする。
• 変換則と整合性条件を通じて、公理と操作的仮説の数学的同等性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率論的理論の中で、量子理論を一意に特徴づける最小限の操作的仮説の集合は何か？
• RQ2 回路フレームワーク内での数学的公理を用いて、量子理論をどのように再定式化できるか？
• RQ3 部分転置条件は、一般の演算子から物理的実現可能演算子をどのように区別するか？
• RQ4 システム上の変換は、回路形式主義における状態と効果の構造とどのように関係するか？
• RQ5 なぜ合成置換可能性が必要であり、単なる置換可能性では古典理論が含まれてしまうのか？

主な発見

• 量子理論は、鋭さ、情報局所性、トモグラフィー局所性、および合成置換可能性の仮説によって一意に特徴づけられ、古典的確率論と区別される。
• 数学的公理（操作が演算子に対応し、すべての完全な物理的演算子の集合が完全な操作の集合に対応する）は、操作的仮説と同等である。
• 物理的演算子は、入力空間における部分転置に関して正であるものとして定義され、物理的実現可能性の重要な条件である。
• デュオテンソル形式主義はテンソル変換を一般化し、変換行列とホッピングメトリクスを用いたインデックス操作を可能にする。
• 証明により、状態空間の次元は N^r に比例し、r は正の整数であることが示され、唯一量子理論が仮説を満たすことが結論づけられる。
• 再構築により、古典的確率論と量子理論が与えられた仮説と整合する唯一の2つの理論であり、合成置換可能性に置き換えることで量子理論が選ばれることを示す。