[論文レビュー] Ricci flow coupled with harmonic map flow

Reto Müller|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用数 103

ひとこと要約

本稿では、リーマン計量と多様体から目的空間への写像を同時に進化させるカップルドリッチ・ホルミック写像フローを導入する。正の結合定数αを導入することで、ホルミック写像成分におけるエネルギーの集中を防ぎ、曲率制御による正則性を保証する。主な貢献は、エネルギー、エントロピー、および縮小体積の単調性公式の導出であり、非自明なブレーカーおよび幾何学的崩壊といった有限時刻における特異性を排除する。

ABSTRACT

We investigate a new geometric flow which consists of a coupled system of the Ricci flow on a closed manifold M with the harmonic map flow of a map phi from M to some closed target manifold N with a (possibly time-dependent) positive coupling constant alpha. This system can be interpreted as the gradient flow of an energy functional F_alpha which is a modification of Perelman's energy F for the Ricci flow, including the Dirichlet energy for the map phi. Surprisingly, the coupled system may be less singular than the Ricci flow or the harmonic map flow alone. In particular, we can always rule out energy concentration of phi a-priori - without any assumptions on the curvature of the target manifold N - by choosing alpha large enough. Moreover, if alpha is bounded away from zero it suffices to bound the curvature of (M,g(t)) to also obtain control of phi and all its derivatives - a result which is clearly not true for alpha = 0. Besides these new phenomena, the flow shares many good properties with the Ricci flow. In particular, we can derive the monotonicity of an entropy functional W_alpha similar to Perelman's Ricci flow entropy W and of so-called reduced volume functionals. We then apply these monotonicity results to rule out non-trivial breathers and geometric collapsing at finite times.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上のリッチフローとホルミック写像フローのカップルド系を研究すること。
• 特に、ホルミック写像成分がエネルギーを集中させる可能性がある場合に、その正則性と特異性形成を分析すること。
• カップルドフロー下でのエネルギー、エントロピー、および縮小体積関数の単調性を確立すること。
• 単調性を応用し、有限時刻における非自明なブレーカーおよび幾何学的崩壊を排除すること。
• 有界曲率が、正の結合定数αを用いて写像φのすべての導関数の制御を保証する長期的存在性を示すこと。

提案手法

• （RH）αフローを定義：∂tg = −2Rc + 2α∇φ⊗∇φ および ∂tφ = τgφ、ただし α ≥ ᾱ > 0。
• デトゥルックのテクニックを用いて、微分同相によるゲージ固定により、弱い放物型系を厳密な放物型系に変換する。
• コンmutator恒等式および曲率公式を用いて、曲率テンソル、リッチ曲率、およびφの勾配の進化方程式を導出する。
• 修正されたエネルギー関数 Fα(g, φ, f) を導入し、フローに沿って非減少であることを示し、定数となるのはステディ勾配ソリトンである場合に限ることを示す。
• 後向き縮小体積関数 ˜Vk(t) を構成し、Lb-測地線およびヤコビアン推定を用いてその単調性を証明する。
• 最大原理およびバリア法を用いて、|∇φ|2 およびリーマン曲率テンソルの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カップルドリッチ・ホルミック写像フローは、ホルミック写像成分におけるエネルギー集中を防げるか？
• RQ2 （M, g(t)）の曲率が有界であれば、α ≥ ᾱ > 0 のとき、φのすべての導関数が制御可能か？
• RQ3 カップルド系に対して、エネルギー、エントロピー、および縮小体積の単調性を確立できるか？
• RQ4 これらの関数の単調性は、有限時刻における非自明なブレーカーおよび幾何学的崩壊を排除するか？
• RQ5 （RH）αフローが長期的存続を示す条件は何か？

主な発見

• 十分に大きな任意の α > 0 に対して、ホルミック写像φのエネルギー集中は事前に排除される。
• フローに沿って曲率 |Rm| が有界であれば、|∇φ|2 およびφのすべての高階導関数が一様に有界のまま保たれる。
• 修正エネルギー関数 Fα(g, φ, f) はフローに沿って非減少であり、定数となるのは (g(t), φ(t)) がステディ勾配ソリトンである場合に限る。
• 縮小体積関数 ˜Vk(t) は後向き時間において非増加であり、その極限挙動が有限時刻特異性の排除に用いられる。
• 一様なリーマン曲率の有界性が、（RH）αフローの長期的存続性を示す。
• 単調性 ˜Vk(t) を用いた背理法により、非自明なブレーカーおよび幾何学的崩壊が有限時刻に発生しないことが示された。