[论文解读] SAT Encodings for Bandwidth Coloring: A Systematic Design Study

Duc Trung Kim Nguyen, Tuyen Van Kieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2026

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一句话总结

该论文系统性研究带宽着色问题（BCP）的 SAT 编码，在一个统一框架内提出六种编码方法，并评估它们与求解器配置的交互，以在 GEOM 和 MS-CAP 基准测试上实现最先进的结果。块编码特别在约1000秒内将 GEOM120b 求解到证实最优。

ABSTRACT

The Bandwidth Coloring Problem (BCP) generalizes graph coloring by enforcing minimum separation constraints between adjacent vertices and arises in frequency assignment applications. While SAT-based approaches have shown promise for exact BCP solving, the encoding design space remains largely unexplored. This paper presents a systematic study of SAT encodings for the BCP, proposing a unified framework with six encoding methods across three categories: one-variable, two-variable, and block encodings. We evaluate the impact of key features including incremental solving and symmetry breaking. While symmetry breaking has been studied for graph coloring, it has not been systematically evaluated for SAT-based BCP solvers. Our analysis reveals significant interaction effects between encoding choices and solver configurations. The proposed framework achieves state-of-the-art performance on GEOM and MS-CAP benchmarks. Block encodings solve GEOM120b, the hardest instance, to proven optimality in approximately 1000 seconds, whereas previous methods could not solve it within a one-hour time limit.

研究动机与目标

• 通过探索编码设计空间，激发并解决基于 SAT 的带宽着色求解中的不足。
• 在一个统一框架中提出六种 BCP 的 SAT 编码方法，覆盖一变量、两变量和块编码。
• 评估增量求解、对称性破缺以及块宽策略对性能的影响。
• 在 GEOM 和 MS-CAP 基准测试上展示最先进的结果，包括将 GEOM120b 求解到最优解。

提出的方法

• 定义六种 SAT 编码方法：1G（单变量大于）、1L（单变量小于）、2G（双变量大于）、2L（双变量小于）、X（不使用辅助变量的块编码）、Xa（使用辅助变量的块编码）。
• 为每种编码提供变量定义和约束公式，包括通道约束和距离约束 |c(u)-c(v)| ≥ d(u,v)。
• 引入具有固定或可变块宽度的块编码，以及使用辅助区间变量 R 来高效表示颜色区间。
• 通过将最高次数的顶点固定在颜色区间的下半部来描述对称性破缺。
• 讨论增量求解模式（假设）与非增量求解，以及它们如何与编码类型相互作用。
• 概述一个求解过程：从跨度上界 H 开始，向下搜索得到最优跨度，在启用增量假设时进行。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同 SAT 编码表示（单变量、两变量、块编码）对精确 BCP 求解性能有何影响？
• RQ2 增量求解和对称性破缺如何影响跨编码类型的 SAT 基 BCP 求解器？
• RQ3 块宽策略对块编码在 BCP 中的效率有何影响？
• RQ4 一个统一的 SAT 编码框架是否能够在 GEOM 和 MS-CAP 基准测试上实现性能提升，包括 GEOM120b 这样的难题？

主要发现

• 块编码在约1000秒内将 GEOM120b 求解到证实最优，超越此前在一小时内的方法。
• 该框架揭示了编码选择与求解器配置之间的重要交互效应。增量求解对块编码显著有利，但对单变量编码则不显著。对称性破缺的有效性在不同编码类型之间存在差异。
• 所有基于顺序的编码的子句数量与边权的平均值无关，在边权较大时具有渐近优势。
• 与以往基于 SAT 的方法相比，块编码在 GEOM 和 MS-CAP 基准测试上提供了最先进的性能。