[論文レビュー] Towards the Mirror Symmetry for Calabi-Yau Complete intersections in Gorenstein Toric Fano Varieties

Lev Borisov|ArXiv.org|Oct 2, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 99

ひとこと要約

本稿では、Gorenstein トーリック Fano 多面体内の Calabi-Yau 完全交差に対して、Batyrеv の極双対性を一般化した、自己双対的ラティス多面体の組合せ的双対性を提案する。頂点のネフ分割と、区分的線形関数による双対多面体の構成を通じて、双対トーリック多様体内の Calabi-Yau 完全交差の族の鏡映性対応を確立する。この双対性は、このより広いクラスの Calabi-Yau 多様体に対する鏡映性を、予想的に実現するものである。

ABSTRACT

We propose a combinatorical duality for lattice polyhedra which conjecturally gives rise to the pairs of mirror symmetric families of Calabi-Yau complete intersections in toric Fano varieties with Gorenstein singularities. Our construction is a generalization of the polar duality proposed by Batyrev for the case of hypersurfaces.

研究の動機と目的

• ハイパーサーフェスに対する Batyrev の極双対性を、Gorenstein トーリック Fano 多様体内の完全交差へ拡張すること。
• ハイパーサーフェスのケースを超えた、Calabi-Yau 完全交差の鏡映的族を体系的に構成すること。
• 自己双対的多面体のネフ分割に作用する組合せ的対合を定義し、鏡映性を誘導すること。
• 区分的線形関数と頂点分割を通じて、自己双対的多面体とその双対との間の双対性を確立すること。
• この双対性が、双対トーリック Fano 多様体内の Calabi-Yau 完全交差の鏡像対をもたらすと予想すること。

提案手法

• 0 を内部に含む Mℝ 内の自己双対的多面体 Δ を定義し、その双対 Δ* を Nℝ 内の {y ∈ Nℝ | ⟨x,y⟩ ≥ -1 すべての x ∈ Δ に対して} と定義する。
• Δ の頂点を互いに素な部分集合 E₁,…,Er に分割するネフ分割を導入し、各 eⱼ ∈ Eᵢ に対して φᵢ(eⱼ)=1、それ以外で 0 となる整数係数の Σ[Δ]-区分的線形関数 φ₁,…,φᵣ が存在することを仮定する。
• 各 i=1,…,r に対して、r 個の凸多面体 Δᵢ = Conv({0} ∪ Eᵢ) と r 個の双対多面体 ∇ᵢ = {y ∈ Nℝ | ⟨x,y⟩ ≥ -φᵢ(x)} を構成する。
• 双対自己双対的多面体 ∇ = Conv(∇₁ ∪ ⋯ ∪ ∇ᵣ) を定義し、∇ が自己双対的であり、∇* = Δ₁ + ⋯ + Δᵣ であることを示す。
• 双対の双対構成が元の構成を回復することを証明し、自己双対的多面体とそのネフ分割の集合上に自己反復的対合を確立する。
• この双対性が、PΔ* と P∇* の両方のトーリック Fano 多様体内の Calabi-Yau 完全交差に対して鏡映性を誘導すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau ハイパーサーフェスに対する Batyrev の極双対性は、Gorenstein トーリック Fano 多様体内の完全交差へ一般化可能か？
• RQ2 どの組合せ的構造が、完全交差に対する鏡映性を生じさせるか？
• RQ3 自己双対的多面体の頂点のネフ分割は、どのようにして双対的 Calabi-Yau 完全交差族を定義できるか？
• RQ4 二つの双対的トーリック Fano 多様体の多面体的データ間に、自然な双対性があり、それがその完全交差の鏡映性を誘導するか？
• RQ5 区分的線形関数による双対多面体の構成は、ネフ分割付きの自己双対的多面体の集合上で、自己反復的対合をもたらすか？

主な発見

• 双対の双対構成は、元の自己双対的多面体とそのネフ分割を回復し、自己双対的多面体とネフ分割の集合上に自己反復的対合を確立する。
• 構成は Δ* = ∇₁ + ⋯ + ∇ᵣ および ∇* = Δ₁ + ⋯ + Δᵣ を満たし、両方の多面体族の間で対称的双対性を示す。
• 双対多面体 ∇ は自己双対的であり、鏡像構成が Gorenstein トーリック Fano 多様体のクラスに留まることを保証する。
• 双対多面体 ∇ᵢ の頂点は、∇ の頂点に正確に一致し、双対分割 E′₁,…,E′ᵣ は ∇ のネフ分割を形成するため、双対性のループが閉じる。
• この双対性は、PΔ* と P∇* 内の Calabi-Yau 完全交差の族の間で鏡映性対応を誘導する。予想通りである。
• 双対性は区分的線形関数 φᵢ 及びその双対 ψᵢ によって実現され、ψᵢ(y) = -minₓ∈Δᵢ⟨x,y⟩ で定義され、双対構成の整合性を保証する。