[论文解读] Trace formulas for Wiener--Hopf operators with applications to entropies of free fermionic equilibrium states

Hajo Leschke, Alexander V. Sobolev+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 29被引用 30

一句话总结

本文建立了对一维威纳-霍普夫算子的非光滑函数的统一迹范数估计和准经典渐近公式，将哈罗德·威多姆的经典结果推广至非光滑函数和无界区域。作者将这些迹公式应用于自由费米子系统在正温度下的纠缠熵（EE）和局域熵，推导出精确且一致的渐近行为，表明在零温极限下与基态EE行为一致。关键贡献在于提出了一种统一的热力学EE渐近公式，在小T和大α（准经典参数）下均保持精确，其中T的对数发散特性与零温结果一致，当识别α ∼ 1/T时成立。

ABSTRACT

We consider non-smooth functions of (truncated) Wiener--Hopf type operators on the Hilbert space $L^2(\mathbb R^d)$. Our main results are uniform estimates for trace norms ($d\ge 1$) and quasiclassical asymptotic formulas for traces of the resulting operators ($d=1$). Here, we follow Harold Widom's seminal ideas, who proved such formulas for smooth functions decades ago. The extension to non-smooth functions and the uniformity of the estimates in various (physical) parameters rest on recent advances by one of the authors (AVS). We use our results to obtain the large-scale behaviour of the local entropy and the spatially bipartite entanglement entropy (EE) of thermal equilibrium states of non-interacting fermions in position space $\mathbb R^d$ ($d\ge 1$) at positive temperature, $T>0$. In particular, our definition of the thermal EE leads to estimates that are simultaneously sharp for small $T$ and large scaling parameter $\alpha>0$ provided that the product $T\alpha$ remains bounded from below. Here $\alpha$ is the reciprocal quasiclassical parameter. For $d=1$ we obtain for the thermal EE an asymptotic formula which is consistent with the large-scale behaviour of the ground-state EE (at $T=0$), previously established by the authors for $d\ge 1$.

研究动机与目标

• 将威纳-霍普夫算子的准经典迹渐近公式推广至非光滑函数，克服先前光滑函数结果的局限性。
• 为涉及非光滑函数的算子差的迹范数建立统一估计，适用于温度T和准经典参数α等物理参数。
• 分析位置空间Rd（d ≥ 1）中非相互作用费米子热平衡态下局域与双粒子纠缠熵（EE）的大尺度行为，尤其在T > 0且α → ∞的区域。
• 推导在小T与大α极限下均保持精确的热EE渐近公式，其对T具有对数依赖性，与零温结果一致。

提出的方法

• 使用赫夫勒-斯约斯特兰公式，通过复平面上的积分表示自伴算子的非光滑函数f，从而分析算子差。
• 引入多尺度符号a(ξ)，以控制算子范数对温度T等物理参数的依赖性，确保在α与T上的统一估计。
• 应用近期关于威纳-霍普夫算子的非光滑函数的施瓦茨-冯诺依曼范数估计进展，推导迹类（S1）与施瓦茨类Sq中的统一界。
• 在一维情形下，通过光滑截断函数将f分解为光滑部分与奇异部分，推导算子差Dα(a, Λ; f)的迹的准经典渐近公式。
• 利用迹的线性性及映射f ↦ Dα(a, Λ; f)的线性性，将纠缠熵分解为符号不同部分的贡献，实现渐近分析。
• 基于多尺度符号框架，建立算子差Dα(aT,µ, Λ; ηγ)的迹范数统一界，其中ηγ为γ-Rényi熵函数，常数与α和T无关（当αT ≥ α0 > 0时），实现统一估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将威纳-霍普夫算子迹的准经典渐近公式推广至非光滑函数f，特别是那些在某一点具有奇点的函数？
• RQ2 能否为算子差Dα(a, Λ; f)的迹范数导出在温度T与准经典参数α等物理参数变化下仍有效的统一估计？
• RQ3 自由费米子系统在正温度T > 0的热平衡态下，纠缠熵（EE）与局域熵的大尺度渐近行为如何？
• RQ4 在T → 0与α → ∞的联合极限下，热EE的行为如何？是否能恢复已知的零温渐近行为？

主要发现

• 当d = 1时，纠缠熵Hγ(T, µ; αI)满足渐近公式Hγ(T, µ; αI) = 2ωB(aT,µ, ηγ) + o(|log(T)| + 1)，当α → ∞且αT ≥ α0 > 0时成立，其中ω = ω(I) = ω(Ic)。
• 当I有界时，局域γ-Rényi熵满足Sγ(T, µ; αI) = αsγ(T, µ)|I| + 2KB(aT,µ; ηγ) + o(|log(T)| + 1)，其中sγ(T, µ)为熵密度，K为几何因子。
• 在零温极限（T ↓ 0）下，纠缠熵渐近行为为Hγ(T, µ; αI) = ωN(1 + γ/(6γ))|log(T)| + o(|log(T)| + 1)，其中N为费米海连通分支数。
• 对数项中的系数ωN(1 + γ/(6γ))与已知的基态EE零温结果完全一致，证实了T = 0与T > 0区域之间的行为一致性。
• 本文建立了统一的迹范数界：∥Dα(aT,µ, Λ; ηγ)∥S1 ≤ Cαd−1(|log(T)| + 1)，常数与α和T无关（当αT ≥ α0时），对费米符号aT,µ而言为精确界。
• 通过将f分解为f = fφ + f(1−φ)，其中φ为光滑截断函数，推导出非光滑f的算子差Dα(a, Λ; f)的迹渐近公式，结果项通过多尺度符号框架进行估计。