[论文解读] 2x2 convexifications for convex quadratic optimization with indicator variables

Shaoning Han, Andrés Gómez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对带指示变量的凸二次优化问题的新型 2×2 凸化技术，推导出双变量上境图在原始空间和二阶锥规划扩展形式下的凸包。通过将双变量凸包作为构建模块，该方法构建了强于现有方法（包括 Shor 的 SDP 和视角公式）的更强半定规划（SDP）松弛，显著减少了在投资组合优化实例上的整数性间隙。

ABSTRACT

In this paper, we study the convex quadratic optimization problem with indicator variables. For the bivariate case, we describe the convex hull of the epigraph in the original space of variables, and also give a conic quadratic extended formulation. Then, using the convex hull description for the bivariate case as a building block, we derive an extended SDP relaxation for the general case. This new formulation is stronger than other SDP relaxations proposed in the literature for the problem, including Shor's SDP relaxation, the optimal perspective relaxation as well as the optimal rank-one relaxation. Computational experiments indicate that the proposed formulations are quite effective in reducing the integrality gap of the optimization problems.

研究动机与目标

• 解决带指示变量的凸二次优化问题中缺乏强凸松弛的问题，特别是当 Hessian 矩阵非对角时。
• 为具有非负变量和指示约束的双变量凸二次函数的上境图提供紧致的凸包描述。
• 通过利用双变量凸包作为基本构建模块，为一般 n 变量问题构建一种新的、更强的 SDP 松弛。
• 展示所提出的公式在计算上优于现有松弛方法（如视角法、Shor 的 SDP 和秩一松弛）。
• 为现实应用中出现的混合整数二次优化问题（如投资组合选择）提供一种可扩展且高效的方法。

提出的方法

• 直接在原始变量空间中推导出带指示变量的双变量凸二次函数上境图的凸包。
• 利用二阶锥规划（SOCP）可表征性，为双变量情况提供一个二阶锥规划扩展公式。
• 建立 Shor 的 SDP 松弛与 (QI) 问题最优视角公式的等价性，解决了文献中长期存在的开放问题。
• 开发一种新方法，通过使用双变量凸包作为基本组件，从基本有效不等式构造理想凸松弛。
• 通过聚合双变量凸包描述，为一般 n 变量问题构建新的 SDP 松弛，确保其边界强于先前的公式。
• 实现一种舍入启发式算法以生成可行解并评估上界，与松弛得到的下界进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以显式形式在原始变量空间中描述带指示变量的双变量凸二次函数上境图的凸包？
• RQ2 是否存在一种二阶锥规划扩展公式，能精确表示双变量情况的凸包？
• RQ3 所提出的 SDP 松弛在强度上与 Shor 的 SDP、最优视角公式以及其他现有松弛相比如何？
• RQ4 双变量凸包描述能否作为构建模块，用于为一般 n 变量问题构造更强的 SDP 松弛？
• RQ5 所提出的公式在混合整数二次优化中，特别是在投资组合优化实例中，能在多大程度上减少整数性间隙？

主要发现

• 所提出的 2×2 凸化方法在原始空间和二阶锥规划扩展形式下，对双变量情况均提供了精确的凸包描述。
• 本文证明了 Shor 的 SDP 松弛与 (QI) 问题最优视角公式的等价性，解决了长期存在的开放问题。
• 基于双变量凸包的新 SDP 松弛严格强于 Shor 的 SDP、最优视角松弛和最优秩一松弛。
• 对于 2010 年以来的股票收益数据，所提出的方法（OptPairs）将平均最优性间隙从 19.1%（OptPersp）降低至 4.2%，且当 n=150 时求解时间在 5 分钟以内。
• 对于 2015 年以来的数据，平均间隙从 50.1%（OptPersp）降至 15.5%（OptPairs），表明在更具挑战性的实例上也表现出稳健性能。
• 尽管所需时间比视角公式多 2–3 倍，但所提出方法在问题规模上具有相似的可扩展性，并在 n=150 时于数分钟内达到最优，其求解时间相比先前方法提升了数个数量级。