[论文解读] 3-Dimensional Lattice Polytopes Without Interior Lattice Points

Jaron Treutlein|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文证明了维果尔·巴蒂列夫的猜想：不含内部格点的三维格多面体要么是Cayley多面体，要么可投影到双无模2单形上，要么属于有限个例外情况。证明方法基于亨斯利定理的体积估计以及对含内部格点的面的分类，表明在无模变换下仅有有限多个此类例外多面体存在。

ABSTRACT

A theorem of Howe states that every 3-dimensional lattice polytope $P$ whose only lattice points are its vertices, is a Cayley polytope, i.e. $P$ is the convex hull of two lattice polygons with distance one. We want to generalize this result by classifying 3-dimensional lattice polytopes without interior lattice points. The main result will be, that they are up to finite many exceptions either Cayley polytopes or there is a projection, which maps the polytope to the double unimodular 2-simplex. To every such polytope we associate a smooth projective surface of genus 0.

研究动机与目标

• 对所有不含内部格点的三维格多面体进行分类。
• 推广豪的定理，后者仅涵盖顶点为唯一格点的多面体。
• 验证巴蒂列夫猜想：此类多面体要么可投影至不含内部格点的低维多面体，要么为体积有界的例外情况。
• 确立在无模变换下，非Cayley型或不可投影的例外多面体数量为有限。
• 将每个此类多面体与一个亏格为0的光滑射影曲面相关联，建立几何与代数几何的联系。

提出的方法

• 应用亨斯利定理，对具有固定内部格点数的多面体体积进行有界估计。
• 利用定理1.1（拉加里亚斯–齐格勒）证明体积有界的多面体在无模变换下构成有限集合。
• 通过投影至二维并利用皮克公式对含内部格点的面进行分类，分析其结构。
• 利用体积约束和本原法向量，对位于面之上的格点高度进行有界估计。
• 根据上方面在投影中的长度区分不同情形，从而在每种情形下获得体积有界。
• 利用含一个内部格点的格多边形的结构，对可能的面类型进行分类，并推导多面体的高度有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有不含内部格点的三维格多面体是否均为Cayley多面体，或可投影至双无模2单形？
• RQ2 若否，存在多少例外多面体？在无模变换下其数量是否可被控制？
• RQ3 此类例外多面体的最大体积或高度是多少？能否获得统一的有界？
• RQ4 每个不含内部格点的三维格多面体是否都可投影至不含内部格点的低维格多面体？
• RQ5 这些多面体与代数曲面有何关联？其对应曲面的亏格是多少？

主要发现

• 所有不含内部格点的三维格多面体要么为Cayley多面体，要么可投影至双无模2单形，要么属于有限个例外情况。
• 最大例外格单纯形被明确列出：P₁至P₆，其中P₃ = conv(0, 3e₁, 3e₂, 3e₃)，P₆ = conv(0, 6e₁, 3e₂, 2e₃)。
• 另有15个例外单纯形，全部包含于上述最大者之一中，因此仅存在六个最大例外单纯形。
• 最大例外非单纯形多面体P₇、P₈和P₉亦被识别，其中P₇ = conv(±2e₁, ±2e₂, e₁+e₂+2e₃)。
• 任意格点位于面上方的高度在最坏情况下有界于19，而在面上仅含一个内部格点时有界于6。
• 任意例外多面体的体积由其面的内部格点数唯一决定，因此在无模变换下仅有有限多个此类多面体。