[论文解读] 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Lévy noise: Existence, uniqueness and large deviations

Zhao Dong, Rangrang Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了在周期边界条件下，由乘法Lévy噪声驱动的3D截断Navier-Stokes方程强解的存在性与唯一性。通过弱收敛方法，证明了解在空间 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 中的积分大偏差原理，将大偏差理论扩展至三维空间中具有跳跃噪声的随机PDE。

ABSTRACT

In this paper, we show the existence and uniqueness of a strong solution to stochastic 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Levy noise with periodic boundary conditions. Then we establish the large deviation principles of the strong solution on the state space $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$, where the weak convergence approach plays a key role.

研究动机与目标

• 为填补随机偏微分方程理论中关于由乘法Lévy噪声驱动的3D截断Navier-Stokes方程研究的空白，解决该领域的重要缺失。
• 在周期边界条件下，建立强解的存在性与路径唯一性。
• 在空间 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 中推导解的大偏差原理（LDP），以捕捉样本路径行为。
• 将大偏差理论扩展至三维空间中具有跳跃型噪声的随机PDE。

提出的方法

• 通过引入非线性阻尼项 $g_N(|u|^2)u$，构建三维截断Navier-Stokes方程，以保证解的正则性与存在性。
• 通过波兰空间 $\mathbb{Z}$ 上的补偿泊松随机测度 $\tilde{\eta}$ 建模乘法Lévy噪声。
• 应用弱收敛方法证明大偏差原理，依赖于受控过程的收敛性。
• 利用由泊松随机测度驱动的一族受控方程及其相应控制，分析拉普拉斯原理。
• 通过鞅解与路径唯一性，间接应用Yamada-Watanabe定理，建立强解的存在性。
• 在空间 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 中应用弱收敛方法，确保在具有左极限的 càdlàg 路径拓扑下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在乘法Lévy噪声与周期边界条件下，3D截断Navier-Stokes方程是否存在强解？
• RQ2 在相同条件下，强解是否具有路径唯一性？
• RQ3 解是否在空间 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 中满足大偏差原理？
• RQ4 弱收敛方法能否成功应用于三维空间中具有跳跃噪声的SPDE？
• RQ5 Lévy噪声的存在如何影响截断Navier-Stokes系统的样本路径行为？

主要发现

• 在周期边界条件下，由乘法Lévy噪声驱动的3D截断Navier-Stokes方程的强解存在且路径唯一。
• 解在空间 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 中满足大偏差原理，速率函数通过弱收敛方法确定。
• 受控过程 $\tilde{u}^\varepsilon$ 在 $[0,T]$ 上以 $\mathbb{H}^1$-范数收敛于确定性极限 $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$。
• 受控过程 $\tilde{u}^\varepsilon$ 的极限与骨架方程的解一致，从而验证了拉普拉斯原理。
• 解 $\tilde{u}^\varepsilon$ 依分布收敛于 $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$，从而验证了大偏差原理。
• 证明依赖于 $\tilde{Y}^\varepsilon$ 在 $\mathbb{H}^1$ 与 $L^2([0,T];\mathbb{H}^2)$ 中收敛于零，确保其渐近等价于骨架方程。