[论文解读] 3rd-order Spectral Representation Method: Part II -- Ergodic Multi-variate random processes with fast Fourier transform

Lohit Vandanapu, Michael D. Shields|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Scientific Research and Discoveries参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种高效的三阶谱表示方法，用于通过快速傅里叶变换（FFT）模拟遍历的多变量随机过程，基于给定的交叉功率谱密度和交叉三谱密度。该方法确保模拟过程在数学期望下与目标的二阶和三阶统计特性完全匹配，通过多索引频率离散化实现遍历性，并利用FFT实现显著的计算效率提升。

ABSTRACT

The second in a two-part series, this paper extends the 3rd-order Spectral Representation Method for simulation of ergodic multi-variate stochastic processes according to a prescribed cross power spectral density and cross bispectral density. The 2nd and 3rd order ensemble properties of the simulated stochastic vector processes are shown to satisfy the target cross correlation properties in expectation. A multi-indexed frequency discretization is introduced to ensure ergodicity of the sample functions. This is first shown for uni-variate processes and then the simulation formula for multi-variate processes is provided. Ensemble properties and ergodicity of the sample functions are proven. Additionally, it is shown that the simulations can be implemented efficiently with the Fast Fourier Transform, which greatly reduces computational effort. An example involving the simulation of turbulent wind velocity fluctuations is presented to further highlight the features and applications of the algorithm.

研究动机与目标

• 将三阶谱表示方法扩展至多变量、遍历的随机过程。
• 确保模拟过程在数学期望下与目标的二阶和三阶集合统计特性相匹配。
• 通过多索引频率离散化方案，强制样本函数的遍历性。
• 通过集成快速傅里叶变换（FFT）算法，实现高效计算。
• 通过在湍流风速脉动模拟中的实际应用，展示该方法的实用性。

提出的方法

• 该方法采用多索引频率离散化，以确保多变量过程模拟样本函数的遍历性。
• 通过将具有随机相位和幅值的正弦分量组合，基于给定的交叉功率谱密度和交叉三谱密度构建随机过程。
• 利用三阶累积量公式化谱表示，实现对多变量过程中非高斯、非线性依赖关系的精确建模。
• 应用快速傅里叶变换（FFT）以加速时域实现的计算，显著降低计算成本。
• 该方法确保模拟过程的二阶和三阶集合矩与目标的互相关和三谱特性完全匹配。
• 推导出一种数值算法，通过带适当相位随机化的逆FFT运算，将谱密度函数映射为时域实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将三阶谱表示方法扩展至模拟具有给定交叉谱密度和三谱密度的多变量、遍历随机过程？
• RQ2 何种频率离散化策略可确保模拟过程样本函数的遍历性？
• RQ3 如何在不损失统计保真度的前提下降低此类过程模拟的计算成本？
• RQ4 模拟过程在数学期望下在多大程度上重现了目标的二阶和三阶统计特性？
• RQ5 该方法能否通过快速傅里叶变换实现高效计算，以适用于实际应用？

主要发现

• 模拟的多变量过程在数学期望下与目标的二阶互相关特性完全匹配。
• 三阶互三谱密度在模拟过程中得以保持，确保了对非高斯、非线性依赖关系的准确表示。
• 多索引频率离散化的使用成功地在数学上证明了样本函数的遍历性。
• FFT的集成显著降低了计算复杂度，使得长时长、高分辨率过程的高效模拟成为可能。
• 该方法成功应用于模拟湍流风速脉动，展示了其在工程应用中的实际相关性和准确性。
• 理论证明表明，在所提出的框架下，集合统计特性与时间平均统计特性均收敛至目标值。