[论文解读] 4d N=1 from 6d (1,0)

Shlomo S. Razamat, Cumrun Vafa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 7

一句话总结

本文建立了一个几何框架，用于从6维 $(1,0)$ 超共形场论（SCFTs）在黎曼曲面上的紧化，构造4维 ${\cal N}=1$ 超共形场论（SCFTs）。结果表明，共形模空间由黎曼曲面的复结构模数以及6维味对称性的平坦联络决定，并通过两 M5-膜在 $\mathbb{Z}_2$ 奇点上的显式计算，验证了异常和指标与6维预期的一致性。

ABSTRACT

We study the geometry of 4d N=1 SCFT's arising from compactification of 6d (1,0) SCFT's on a Riemann surface. We show that the conformal manifold of the resulting theory is characterized, in addition to moduli of complex structure of the Riemann surface, by the choice of a connection for a vector bundle on the surface arising from flavor symmetries in 6d. We exemplify this by considering the case of 4d N=1 SCFT's arising from M5 branes probing Z_k singularity compactified on a Riemann surface. In particular, we study in detail the four dimensional theories arising in the case of two M5 branes on Z_2 singularity. We compute the conformal anomalies and indices of such theories in 4d and find that they are consistent with expectations based on anomaly and the moduli structure derived from the 6 dimensional perspective.

研究动机与目标

• 建立6维 $(1,0)$ SCFT 紧化数据与由此产生的4维 ${\cal N}=1$ SCFT 之间的直接对应关系。
• 表征由紧化产生的4维 ${\cal N}=1$ SCFT 的共形模空间，表明其依赖于黎曼曲面的复结构模数和味对称性的平坦联络。
• 通过6维异常多项式约化和强耦合拉格朗日描述，计算并验证4维的共形异常和超对称指标。
• 通过显式例子（特别是两 M5-膜探测 $\mathbb{Z}_2$ 奇点的情形）展示6维与4维数据之间的一致性。
• 表明4维理论的对偶性性质通过超对称指标以TQFT类结构和差分算子的本征函数编码。

提出的方法

• 共形模空间维数由公式 $\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$ 推导得出，其中 $G^{\text{max}} = L \times G'$，$L$ 为阿贝尔部分，$G'$ 为非阿贝尔部分。
• 4维中的异常通过在黎曼曲面上积分6维异常多项式计算，包括来自通量 $c_1(L) \in \mathbb{Z}^{\text{dim}(L)}$ 的贡献。
• 该构造使用弱耦合拉格朗日量，在特定点流动至强耦合SCFT，且在强耦合时出现增强的全局对称性。
• 超对称指标通过差分算子的本征函数 $\psi_\lambda$ 计算，指标表达为对由 $\lambda$ 标记的表示的求和，编码对偶性结构。
• 证明当最大 puncture 分裂为最小 puncture 时，指标结构满足乘积恒等式，尤其针对 $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ 的情形。
• 为本征函数 $\hat{\psi}_\lambda$ 推导出一个非线性积分方程，通过TQFT方法有望获得精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 从6维 $(1,0)$ 紧化产生的4维 ${\cal N}=1$ SCFT 的共形模空间模数如何依赖于黎曼曲面和味对称性联络？
• RQ2 6维中阿贝尔味对称性的通量 $c_1(L)$ 与由此产生的4维异常系数和共形模空间维数之间的确切关系是什么？
• RQ3 此类4维SCFT的超对称指标如何计算？它揭示了关于对偶性和puncture结构的哪些信息？
• RQ4 从4维拉格朗日构造计算出的异常和指标在多大程度上与通过6维异常多项式约化得到的结果一致？
• RQ5 对于 $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ 的情形，指标结构能否用于推导差分算子本征函数之间的非平凡恒等式？

主要发现

• 对于亏格 $g$ 的黎曼曲面且无puncture的情形，共形模空间维数为 $\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$，其中 $(g-1)$ 中的 $-1$ 来源于基本群和非阿贝尔规范对称性。
• 对于在亏格 $g > 1$ 的黎曼曲面上紧化的两 M5-膜在 $\mathbb{Z}_2$ 奇点上的情形，从4维拉格朗日量计算出的异常和中心荷与通过在曲面上积分6维异常多项式并加入通量 $c_1(L)$ 得到的结果一致。
• 4维理论的超对称指标表达为对表示的求和：$\mathcal{I}_{g,s} = \sum_{\lambda} (C_\lambda(t,\gamma))^{2g-2+s} \prod_{j=1}^s \psi_\lambda(\mathbf{u}_j; t,1,1)$，编码对偶性和puncture结构。
• 当 $\beta = \gamma = 1$ 时，两个最小puncture指标的乘积 $\phi_\lambda(\delta; t,1,1)^2$ 等于 $C_\lambda(t) \psi_\lambda(\delta\alpha, \delta/\alpha; t,1,1)$，表明两个最小puncture可合并为一个最大puncture。
• 为本征函数 $\hat{\psi}_\lambda$ 推导出一个非线性积分方程，将两个 $\hat{\psi}_\lambda$ 函数的乘积与四puncture球面指标的围道积分联系起来，暗示存在可解结构。
• 对于 $so(5) \times u(1)$ 理论，指标结构满足TQFT类的组合规则，具有三个最大puncture的球面的指标为 $\mathcal{I} = \sum_{\lambda} C_\lambda(t) \psi_\lambda(\mathbf{u}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{v}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{w}; t,1,1)$。