[论文解读] A Banach rearrangement norm characterization for tail behavior of measurable functions (random variables)

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于权函数 $ w $ 的新型 Banach 重排不变范数，表明范数 $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $ 的有限性可表征可测函数（随机变量）的尾部行为，并在特定条件下证明了弱 Orlicz 范数与该新范数之间的等价性。主要贡献在于利用泛函分析工具（包括嵌入定理和广义大 Lebesgue 空间对偶性）对重尾与轻尾行为进行了完整刻画。

ABSTRACT

We construct a Banach rearrangement invariant norm on the measurable space for which the finiteness of this norm for measurable function (random variable) is equivalent to suitable tail (heavy tail and light tail) behavior. We investigate also a conjugate to offered spaces and obtain some embedding theorems. Possible applications: Functional Analysis (for instance, interpolation of operators), Integral Equations, Probability Theory and Statistics (tail estimations for random variables).

研究动机与目标

• 开发一种可表征可测函数（随机变量）尾部行为的 Banach 重排不变范数，以区分重尾与轻尾。
• 建立 quasi-范数 $ \|f\|_w^* = \sup_{t>0} [w(t) f^*(t)] $ 与范数 $ \|f\|_w = \sup_{t>0} [w(t) f^{**}(t)] $ 线性等价的必要与充分条件。
• 研究所引入的范数空间的对偶空间与关联空间，并推导涉及广义大 Lebesgue 空间与弱 Orlicz 空间的嵌入定理。
• 通过慢变函数与指数 Young-Orlicz 函数，为概率论、统计学与泛函分析中的尾部估计提供一个泛函分析框架。

提出的方法

• 定义尾部函数 $ T_f(t) = \mu\{x: |f(x)| \geq t\} $ 及其左逆 $ f^*(t) = T_f^{-1}(t) $，以及平均分布函数 $ f^{**}(t) = t^{-1} \int_0^t f^*(s) \, ds $。
• 在 $ (0, \mu(X)) $ 上引入权函数 $ w(s) $，满足 $ w(s) = 0 \Leftrightarrow s = 0 $ 且 $ \lim_{s \to \mu(X)} w(s) = \infty $，并满足条件 $ w(T(s)) = 1/s $，其中 $ T \in \{T\} $。
• 定义范数 $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $，并证明其为具有 Fatou 性质的重排不变 Banach 范数。
• 利用切比雪夫不等式将尾部衰减与 $ L_p $-范数联系起来，并基于基本函数 $ \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ 推导 $ \|f\|_p $ 的估计，尤其关注 $ p \to p_0^- $ 时的情形。
• 构造空间 $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 为具有范数 $ \|f\|_{G\psi} = \sup_{p \in (p_1,p_2)} \|f\|_p / \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ 的大 Lebesgue 空间，并证明 $ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) $、$ wL\Phi_{p_0,\Delta,S} $ 与 $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 之间的嵌入定理。
• 建立所引入空间的对偶性与共轭关系，证明 $ L_w $ 的对偶空间在自然权函数 $ w^{(g)} $ 下与可积函数空间等距同构，其中 $ w^{(g)} $ 由 $ g \in L_1 $ 生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可测函数的 quasi-范数 $ \|f\|_w^* = \sup_{t>0} [w(t) f^*(t)] $ 与 Banach 范数 $ \|f\|_w = \sup_{t>0} [w(t) f^{**}(t)] $ 等价？
• RQ2 如何通过权函数 $ w $ 定义的重排不变范数，完全刻画随机变量（重尾或轻尾）的尾部行为？
• RQ3 空间 $ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) $、$ wL\Phi_{p_0,\Delta,S} $ 与 $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 之间的精确嵌入关系为何？它们如何反映尾部衰减速率？
• RQ4 空间 $ L_w $ 的对偶空间为何？它与由可积函数 $ g $ 生成的自然权函数 $ w^{(g)} $ 有何关系？
• RQ5 当 $ p \to p_0^- $ 时，$ \|f\|_p $ 的渐近估计如何反映尾部衰减速率 $ T_f(t) \sim t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $？

主要发现

• 范数 $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $ 定义了一个具有 Fatou 性质的重排不变 Banach 空间，且在 $ \gamma(w) < \infty $ 条件下与 quasi-范数 $ \|f\|_w^* $ 等价。
• 对于尾部行为满足 $ T_f(t) \leq t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $ 的函数 $ f $，其 $ L_p $-范数满足 $ \|f\|_p \lesssim (p_0 - p)^{-(1+\Delta)/p_0} S^{1/p_0}(1/(p_0 - p)) $，当 $ p \to p_0^- $ 时，与基本函数 $ \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ 一致。
• 嵌入关系 $ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) \subset wL\Phi_{p_0,\Delta,S} \subset G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 成立，且第二个包含关系在一般情况下是精确的，不可改进。
• 空间 $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 包含于 $ wL\Phi_{p_0,\Delta+1,S} $，表明 $ L_p $-范数在 $ p \to p_0^- $ 时的增长率决定了弱 Orlicz 空间嵌入的精确性。
• 对于尾部满足 $ T_\eta(t) \sim t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $ 的随机变量 $ \eta $，其 $ L_p $-范数满足 $ \|\eta\|_p \asymp \Gamma(1+\Delta) (p_0 - p)^{-(1+\Delta)/p_0} S^{1/p_0}(1/(p_0 - p)) $，证实了估计的精确性。
• 空间 $ L_w $ 的对偶空间在自然权函数 $ w^{(g)} $ 下与可积函数空间等距同构，其中 $ w^{(g)}(s) = T_g^{-1}(1/s) $，且满足 $ \|g\|_w^{*} = 1 $。