[论文解读] A bound for the number of vertices of a polytope with applications

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文在较弱的几何约束下，建立了n维空间中某些多面体顶点数目的下界，证明其呈指数级增长，形式为$2^{\Omega(n)}$。关键结果应用于中心对称多面体和正则图，表明当$k \geq 2r+1$时，若$k$-正则图中不存在小割，则其$r$-因子数量呈指数级增长，为洛瓦兹-普拉默猜想提供了一条新途径。

ABSTRACT

We prove that the number of vertices of a polytope of a particular kind is exponentially large in the dimension of the polytope. As a corollary, we prove that an n-dimensional centrally symmetric polytope with O(n) facets has 2^{Omega(n)} vertices and that the number of r-factors in a k-regular graph is exponentially large in the number of vertices of the graph provided k >2r and every cut in the graph with at least two vertices on each side has more than k/r edges.

研究动机与目标

• 建立由线性不等式定义并包含于球体内的多面体顶点数目的通用下界。
• 将该下界应用于具有$O(n)$个面的中心对称多面体，证明其必须具有$2^{\Omega(n)}$个顶点。
• 在小割条件下，推导出$k$-正则图中$r$-因子数目的指数下界。
• 提出一种新方法，或可为洛瓦兹-普拉默猜想（关于立方图中完美匹配数目的猜想）提供更简单的证明。

提出的方法

• 基于多面体上随机线性泛函的最大值的概率论证，推导出顶点数目的下界。
• 证明若顶点数目较少，则随机线性泛函的最大值也较小；但另一方面，由于与随机射线的长交线，该最大值又应较大。
• 应用线性变换，将一个中心对称多面体映射为满足主定理条件的形式。
• 将图$G$的$r$-因子多面体$P_r(G)$定义为$G$中$r$-因子的指示向量的凸包，并利用其结构应用主定理。
• 在小割条件下，证明中心向量$a(e) = r/k$在$P_r(G)$内部，且具有正的裕量$\epsilon > 0$。
• 将多面体$P_r(G) - a$按$\epsilon^{-1}$缩放，以满足主定理的假设，随后应用顶点数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$n$维空间中，具有$O(n)$个面的中心对称多面体的最小顶点数是多少？
• RQ2 在何种条件下，$k$-正则图中$r$-因子的数量会随顶点数呈指数级增长？
• RQ3 当所有非平凡割的大小至少为4时，立方图中完美匹配的数量是否可被下界控制为$2^{\Omega(|V|)}$？
• RQ4 是否存在一种几何方法，可对如正则图中的$r$-因子等组合对象给出指数下界？
• RQ5 该方法是否可进一步优化，以提供洛瓦兹-普拉默猜想的替代证明？

主要发现

• 满足$|\langle x, u_i \rangle| \leq 1$（$m \leq \alpha n$个单位法向量）且$\|x\| \leq \beta\sqrt{n}$的$n$维多面体$P \subset \mathbb{R}^n$，其顶点数至少为$\exp(\gamma n)$，其中$\gamma = \gamma(\alpha, \beta) > 0$。
• 具有$O(n)$个面的$n$维中心对称多面体至少具有$2^{\gamma n}$个顶点，其中$\gamma > 0$，该结果优于由Figiel-Lindenstrauss-Milman不等式得出的$2^{\Omega(n / \log n)}$界。
• 当$k \geq 2r+1$时，任意不含大小$\leq k/r$的非平凡割的$k$-正则图，其$r$-因子数量至少为$2^{\gamma |V|}$，其中$\gamma = \gamma(k,r) > 0$。
• 特别地，所有非平凡割大小至少为4的立方图，其完美匹配数量随顶点数呈指数级增长。
• 该方法提供了一套新的几何框架，或可为洛瓦兹-普拉默猜想（即立方图中完美匹配数目的数量为$2^{\Omega(|V|)}$）提供更简单的证明。
• 主定理中的常数$\gamma$通过满足两个涉及$\alpha$、$\beta$和$\epsilon$的不等式的参数$\rho$进行定量估计，从而确保$\gamma > 0$。