[论文解读] A bounded degree SOS hierarchy for large scale polynomial optimization with sparsity

Tillmann Weißer, Jean B. Lasserre+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种大规模多项式优化的稀疏有界次数平方和（BSOS）层次方法，利用结构化稀疏性保持固定大小的半定规划（SDP）约束。当稀疏模式满足运行交集性质时，该层次方法收敛至全局最优解；对于SOS-凸问题，其在第一步即实现有限收敛——与稠密情形一致。

ABSTRACT

We provide a sparse version of the bounded degree SOS (BSOS) hierarchy for polynomial optimization problems. The presented version permits to handle large scale problems which satisfy a structured sparsity pattern. When the sparsity pattern satisfies the running intersection property, this sparse BSOS hierarchy of semidefinite programs (with semidefinite constraints of fixed size) converges to the global optimum of the original problem. Moreover, for the class of SOS-convex problems, finite convergence takes place at the first step of the hierarchy, just as in the dense version.

研究动机与目标

• 为解决大规模多项式优化中稠密平方和（SOS）层次方法的计算不可行性。
• 利用多项式优化问题中的结构化稀疏模式以降低计算复杂度。
• 开发一种有界次数SOS（BSOS）层次的稀疏变体，同时保持收敛性保证。
• 确保SOS-凸问题在层次的第一步即实现有限收敛，复现稠密BSOS框架中的结果。

提出的方法

• 该方法采用弦图稀疏模式，对矩矩阵和局部多项式基进行稀疏表示。
• 应用运行交集性质，将优化问题分解为更小的、固定大小的半定规划约束。
• 该方法构建了一类稀疏半定规划（SDP）层次，每一层均使用有界次数的SOS松弛。
• 通过稀疏图的弦分解，确保稀疏性保持，从而实现高效的SDP求解。
• 在运行交集条件下，该方法保持与稠密BSOS层次在收敛性方面的等价性。
• 该方法利用SOS-凸性，实现层次第一步的有限收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结构化稀疏性条件下，有界次数SOS层次的稀疏变体是否仍能收敛至全局最优解？
• RQ2 运行交集性质是否能确保一般多项式优化问题中稀疏BSOS层次的有限收敛？
• RQ3 稀疏BSOS层次是否能在SOS-凸问题中于第一步实现有限收敛，如同稠密情形一般？
• RQ4 稀疏性利用如何影响层次中半定规划约束的规模与结构？
• RQ5 何种稀疏模式条件可保证稀疏BSOS层次的收敛性？

主要发现

• 当稀疏模式满足运行交集性质时，稀疏BSOS层次收敛至原始多项式优化问题的全局最优解。
• 稀疏层次中的半定规划约束保持固定大小，从而可扩展至大规模问题。
• 对于SOS-凸问题，稀疏BSOS层次在第一步即实现有限收敛，与稠密BSOS情形一致。
• 该方法在显著降低计算复杂度的同时，保留了稠密BSOS层次的收敛性保证。
• 稀疏图的弦分解确保了在运行交集条件下，稀疏SDP松弛与稠密松弛等价。