[论文解读] A Canonical Characterization of the Family of Barriers in General Graphs

Nanao Kita|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文对一般图中的奇最大障碍（odd-maximal barriers）提供了规范化的表征，将洛瓦兹（Lovász）的规范划分推广至所有可因子化图（factorizable graphs）之外的图类。通过基于广义规范划分与辅助有向图的新型算法，揭示了障碍与奇连通分量的结构分解，从而为所有可因子化图的匹配理论提供统一框架。

ABSTRACT

Given a graph, a barrier is a set of vertices determined by the Berge formula---the min-max theorem characterizing the size of maximum matchings. The notion of barriers plays important roles in numerous contexts of matching theory, since barriers essentially coincides with dual optimal solutions of the maximum matching problem. In a special class of graphs called the elementary graphs, the family of maximal barriers forms a partition of the vertices; this partition was found by Lovász and is called the canonical partition. The canonical partition has produced many fundamental results in matching theory, such as the two ear theorem. However, in non-elementary graphs, the family of maximal barriers never forms a partition, and there has not been the canonical partition for general graphs. In this paper, using our previous work, we give a canonical description of structures of the odd-maximal barriers---a class of barriers including the maximal barriers---for general graphs; we also reveal structures of odd components associated with odd-maximal barriers. This result of us can be regarded as a generalization of Lovász's canonical partition.

研究动机与目标

• 为解决在非初等图中最大障碍家族不再构成顶点划分时，缺乏最大障碍的规范化结构的问题。
• 将此前仅适用于初等图的洛瓦兹规范划分推广为适用于所有可因子化图的规范化框架。
• 表征一般图中奇最大障碍及其相关奇连通分量的结构。
• 提供一种在 $O(nm)$ 时间内计算广义规范划分与因子-分量顺序关系的算法方法。

提出的方法

• 利用先前关于广义规范划分与广义大教堂结构的研究成果，描述一般图中障碍分量的结构。
• 引入奇最大障碍的概念，作为最大障碍的推广，以捕捉非初等图中的关键结构特性。
• 提出算法1，用于计算广义规范划分 $\mathcal{P}(G)$ 与表示因子-分量顺序 $\triangleleft$ 的辅助有向图 $Aux(G)$。
• 利用辅助图 $H_G(X)$ 的 DM-分解，识别障碍分量，并通过 $Aux(G)$ 中的有向边传播可达性。
• 定义 $^{c}U(S)$ 为障碍分量 $S$ 外部在辅助结构中可达的顶点集合，该定义对有向边的构建至关重要。
• 利用 $Aux(G)$ 的强连通分量，恢复原始的因子分量 $\mathcal{G}(G)$，并建立与 $H \in \mathcal{G}(G)$ 的一一对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛瓦兹的规范划分能否从初等图推广至所有可因子化图？
• RQ2 在一般图中，特别是非初等图设置下，奇最大障碍的结构特性是什么？
• RQ3 当最大障碍家族不再构成顶点集的划分时，如何对它们进行规范化描述？
• RQ4 在一般图中，计算广义规范划分与因子-分量顺序的算法复杂度是多少？
• RQ5 与奇最大障碍相关的奇连通分量的行为如何？它们在整体障碍结构中扮演何种角色？

主要发现

• 广义规范划分 $\mathcal{P}(G)$ 将顶点集规范地分解为原子，这些原子构成一般图中的奇最大障碍。
• 通过算法1构建的辅助有向图 $Aux(G)$ 编码了因子-分量顺序 $\triangleleft$，其中 $H_1 \triangleleft H_2$ 当且仅当在 $Aux(G)$ 中存在从任意 $u \in V(H_1)$ 到任意 $v \in V(H_2)$ 的有向路径。
• $Aux(G)$ 的强连通分量恰好对应于因子分量 $\mathcal{G}(G)$，从而实现了原始因子分解的恢复。
• 算法1在 $O(nm)$ 时间内同时计算出 $\mathcal{P}(G)$ 与 $Aux(G)$，其正确性由引理23与定理4.4保证。
• 通过 $^{c}U(S)$ 构造，完全表征了与奇最大障碍相关的奇连通分量的结构，该构造识别出从障碍分量可达的顶点。
• 该结果推广了洛瓦兹的规范划分，为匹配理论在初等图之外的多面体与算法研究奠定了基础。