[论文解读] A capacity approach to box and packing dimensions of projections of sets and exceptional directions

K. J. Falconer|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文提出一种基于容量的方法，利用核函数和容量来定义盒维数和填装维数的维数轮廓，为先前间接的定义提供了一种更直接、计算上更易处理的替代方案。该文证明，Borel集E的m维维数轮廓等于其在几乎所有m维子空间上投影的典型盒维数或填装维数，同时通过傅里叶方法对投影维数低于典型值的例外集合给出了新的估计。

ABSTRACT

Dimension profiles were introduced in [8,11] to give a formula for the box-counting and packing dimensions of the orthogonal projections of a set $R^n$ onto almost all $m$-dimensional subspaces. However, these definitions of dimension profiles are indirect and are hard to work with. Here we firstly give alternative definitions of dimension profiles in terms of capacities of $E$ with respect to certain kernels, which lead to the box-counting and packing dimensions of projections fairly easily, including estimates on the size of the exceptional sets of subspaces where the dimension of projection is smaller the typical value. Secondly, we argue that with this approach projection results for different types of dimension may be thought of in a unified way. Thirdly, we use a Fourier transform method to obtain further inequalities on the size of the exceptional subspaces.

研究动机与目标

• 为R^n中集合的盒维数和填装维数轮廓提供更直观且计算上可处理的定义。
• 用特定核函数的基于容量的公式替代先前间接的、基于测度论的维数轮廓定义。
• 推导出投影维数低于典型值的例外子空间集合大小的精确界。
• 通过统一的容量框架，整合不同维数类型（Hausdorff、盒维数、填装维数）的处理方法。
• 应用傅里叶变换方法，获得关于例外投影方向维数的新定量估计。

提出的方法

• 通过连续核函数φr^s(x) = min{|x|^{-s}, r^{-s}}，定义集合E的s-盒维数轮廓，基于Cr^s(E)的渐近行为。
• 利用平衡测度和容量理论，将Cr^s(E)的对数增长速率与投影的盒维数或填装维数联系起来。
• 证明dim_B^m(E)等于几乎处处子空间V ∈ G(n,m)上E的投影π_V(E)的维数。
• 应用傅里叶分析，推导出投影维数严格小于典型值的例外集合维数的上界。
• 通过上盒维数轮廓定义填装维数轮廓，将结果推广至填装维数。
• 利用Hölder不等式和标度变换，推导不同尺度下维数轮廓之间的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 盒维数和填装维数轮廓能否以更直接、基于容量理论的方式重新定义，从而避免间接的测度论构造？
• RQ2 集合的s维维数轮廓与它在m维子空间上投影的维数之间存在何种精确关系？
• RQ3 投影维数严格小于典型值的例外子空间集合最大可能有多大？
• RQ4 傅里叶变换技术能否提供关于盒维数和填装维数例外集合大小的改进定量估计？
• RQ5 不同尺度s下，维数轮廓的行为受何种不等式控制？

主要发现

• m维盒维数轮廓dim_B^m(E)等于几乎处处子空间V ∈ G(n,m)上π_V(E)的维数，提供了典型投影维数的直接刻画。
• 当s ≥ n时，s-盒维数轮廓dim_B^s(E)退化为E的标准盒计数维数。
• 填装维数轮廓dim_P^m(E)通过上盒维数轮廓定义，且等于几乎处处子空间V ∈ G(n,m)上π_V(E)的填装维数。
• 在适当条件下，投影维数严格小于dim_B^m(E)的例外子空间集合的维数至多为m(n−m) − γ，其中γ > 0。
• 不等式dim_B^s(E) ≥ d(t)/(1 + (1/s − 1/t)d(t))对所有0 < s ≤ t成立，为维数轮廓提供了精确的下界。
• 基于容量的方法使得Hausdorff维数、盒维数和填装维数得以统一处理，各类维数均具有类似形式的维数轮廓。