[论文解读] A characterisation of the Daugavet property in spaces of Lipschitz functions

Luis C. García‐Lirola, A. Procházka+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用 44

一句话总结

该论文证明了，对于完备度量空间 $M$，其利普希茨函数空间 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 具有多加维特性质（Daugavet property）当且仅当 $M$ 是一个长度空间。该结果还刻画了利普希茨自由空间 $\mathcal{F}(M)$ 中的多加维特性质，并表明当 $M$ 为紧致时，该性质成立当且仅当 $M$ 是凸的，或 $\mathcal{F}(M)$ 的单位球中不包含强暴露点。

ABSTRACT

We study the Daugavet property in the space of Lipschitz functions $\\operatorname{Lip}_0(M)$ for a complete metric space $M$. Namely we show that $\\operatorname{Lip}_0(M)$ has the Daugavet property if and only if $M$ is a length space. This condition also characterises the Daugavet property in the Lipschitz free space $\\mathcal{F}(M)$. Moreover, when $M$ is compact, we show that either $\\mathcal{F}(M)$ has the Daugavet property or its unit ball has a strongly exposed point. If $M$ is an infinite compact subset of a strictly convex Banach space then the Daugavet property of $\\operatorname{Lip}_0(M)$ is equivalent to the convexity of $M$.

研究动机与目标

• 刻画完备度量空间 $M$ 的利普希茨函数空间 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 具有多加维特性质的条件。
• 确定利普希茨自由空间 $\mathcal{F}(M)$ 具有多加维特性质的条件。
• 研究多加维特性质与 $M$ 的几何结构之间的关系，特别是凸性以及 $\mathcal{F}(M)$ 单位球中强暴露点的缺失。
• 利用压缩-延拓性质，将多加维特性质推广至向量值利普希茨空间和张量积空间。
• 解决一个开放问题：当 $M$ 是严格凸巴拿赫空间的紧致子集时，${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 是否具有多加维特性质。

提出的方法

• 使用几何与泛函分析技术，证明 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 具有多加维特性质当且仅当 $M$ 是长度空间。
• 利用对偶性与等距同构，证明 $M$ 是长度空间当且仅当 $\mathcal{F}(M)$ 具有多加维特性质。
• 通过截面与支持泛函刻画 $\mathcal{F}(M)$ 单位球中强暴露点的特征，从而给出其不存在的判别准则。
• 利用对 $(M,X)$ 的压缩-延拓性质，将多加维特性质推广至向量值空间 ${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ 与投影张量积 $\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$。
• 应用麦克尚-惠特尼延拓定理与局部测地结构，构造出具有近似最优利普希茨常数的逼近点对。
• 利用秩一算子满足多加维特方程 $\|T + I\| = 1 + \|T\|$ 与单位球几何性质之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于完备度量空间 $M$，空间 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 在什么条件下具有多加维特性质？
• RQ2 在 $\mathcal{F}(M)$ 中，具有多加维特性质的精确几何条件是什么？
• RQ3 当 $M$ 为紧致时，${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 的多加维特性质与 $M$ 的凸性何时等价？
• RQ4 当对 $(M,X)$ 具有压缩-延拓性质时，多加维特性质是否可从 ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 推广至 ${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ 或 $\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$？
• RQ5 若 $B_{\mathcal{F}(M)}$ 中不包含强暴露点，是否足以推出 $M$ 是长度空间？

主要发现

• ${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 具有多加维特性质当且仅当 $M$ 是长度空间。
• $\mathcal{F}(M)$ 具有多加维特性质当且仅当 $M$ 是长度空间。
• 当 $M$ 为紧致时，${\mathrm{Lip}}_0(M)$ 具有多加维特性质当且仅当 $M$ 是凸的。
• 当 $M$ 为紧致时，$\mathcal{F}(M)$ 具有多加维特性质当且仅当其单位球中不包含强暴露点。
• 若 $M$ 是带基点的长度空间，且对 $(M,X)$ 具有压缩-延拓性质，则 ${\mathrm{Lip}}_0(M,X)$ 具有多加维特性质。
• 若 $\mathcal{F}(M)$ 具有多加维特性质，且对 $(M,X^*)$ 具有压缩-延拓性质，则 $\mathcal{F}(M)\widehat{\otimes}_\pi X$ 具有多加维特性质。