[论文解读] A characterization of categories of coherent sheaves of certain algebraic stacks

Daniel Schäppi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 22

一句话总结

本文通过广义的Tannakian识别定理，对某些代数堆栈上凝聚层范畴给出了一个刻画。证明了此类范畴可作为Adams Hopf代丛上的余模范畴而出现，从而实现了从层范畴对代数堆栈的范畴重构，并解决了Richard Pink关于Fontaine–Laffaille过滤模的猜想。

ABSTRACT

Under certain conditions, a scheme can be reconstructed from its category of quasi-coherent sheaves. The Tannakian reconstruction theorem provides another example where a geometric object can be reconstructed from an associated category, in this case the category of its finite dimensional representations. Lurie's result that the pseudofunctor which sends a geometric stack to its category of quasi-coherent sheaves is fully faithful provides a conceptual explanation for why this works. In this paper we prove a generalized Tannakian recognition theorem, in order to characterize a part of the image of the extension of the above pseudofunctor to algebraic stacks in the sense of Naumann. This allows us to further investigate a conjecture by Richard Pink about categories of filtered modules, which were defined by Fontaine and Laffaille to construct p-adic Galois representations. In order to do this we give a new characterization of Adams Hopf algebroids, which also allows us to answer a question posed by Mark Hovey.

研究动机与目标

• 通过弱Tannakian范畴，对代数堆栈上的凝聚层范畴提供一个范畴化刻画。
• 将Lurie对几何堆栈嵌入对称张量阿贝尔范畴的伪函子方法推广至代数堆栈，通过纤维函子实现。
• 通过将该范畴识别为Adams堆栈2-category中的双极限，解决Richard Pink关于Fontaine–Laffaille过滤模范畴的猜想。
• 利用Tannakian对偶，对Adams Hopf代丛给出新刻画，回答Mark Hovey提出的问题。

提出的方法

• 引入弱Tannakian范畴的概念：即在交换环R上的对称张量阿贝尔范畴，带有取值于某个R-代数B上的模范畴Mod_B的纤维函子。
• 应用广义Tannakian识别定理，证明每个弱Tannakian范畴等价于某个代数堆栈上的凝聚层范畴。
• 利用左Kan扩张与Beck的余模子性定理，确立Hopf代丛上余模范畴的普遍性质。
• 通过范畴论的单子理论与伪函子，将堆栈刻画为内部群胚的双范畴局部化。
• 将识别定理应用于对称张量阿贝尔范畴的2-category，实现代数堆栈的全忠实嵌入。
• 通过覆盖的核对上的下降数据，计算Adams堆栈图的双极限，将过滤模范畴实现为双极限，从而完成构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些对称张量阿贝尔范畴可作为代数堆栈上凝聚层范畴？
• RQ2 在Adams堆栈的2-category中，如何范畴化地刻画Fontaine–Laffaille过滤模范畴？
• RQ3 何种条件下，Hopf代丛的余模范畴是弱Tannakian的？
• RQ4 能否仅通过纤维函子与对偶性条件，重构代数堆栈上凝聚层范畴？
• RQ5 Fontaine–Laffaille理论中过滤模范畴的精确范畴结构是什么？

主要发现

• 每个弱Tannakian范畴都与某个交换环R上代数堆栈上的凝聚层范畴等价。
• 若A是凝聚的，则与平坦Hopf代丛(A, Γ)相关的堆栈上的凝聚层范畴，等价于(A, Γ)上的余模范畴。
• Fontaine–Laffaille理论中的过滤模范畴被实现为Adams堆栈2-category中的双极限，从而证实了Pink的猜想。
• Adams Hopf代丛被刻画为那些使得其余模范畴是具有温和纤维函子的弱Tannakian范畴的Hopf代丛。
• 将几何堆栈映射到其拟凝聚层范畴的伪函子是全忠实的，将Lurie的结果推广至代数堆栈。
• 在超广义拓扑空间上，伪函子的关联堆栈在双范畴局部化下保持不变，确保与下降性及余极限的相容性。