[论文解读] A characterization of irreducible symmetric spaces and Euclidean buildings of higher rank by their asymptotic geometry
该论文通过其渐近几何性质刻画了高阶不可约对称空间与欧氏建筑物，证明了：若一个测地完备、局部紧致的哈达姆空间在无穷远处具有不可约球面建筑物，则其为对称空间当且仅当完整测地线不分支。此外，进一步证明了此类空间之间的任意边界等价（在蒂茨度量下）均由位似变换诱导，从而将莫斯特与普拉萨德刚性定理推广至奇异的非正曲率空间。
We study geodesically complete and locally compact Hadamard spaces X whose Tits boundary is a connected irreducible spherical building. We show that X is symmetric iff complete geodesics in X do not branch and a Euclidean building otherwise. Furthermore, every boundary equivalence (cone topology homeomorphism preserving the Tits metric) between two such spaces is induced by a homothety. As an application, we can extend the Mostow and Prasad rigidity theorems to compact singular (orbi)spaces of nonpositive curvature which are homotopy equivalent to a quotient of a symmetric space or Euclidean building by a cocompact group of isometries.
研究动机与目标
- 通过其渐近几何性质刻画高阶不可约对称空间与欧氏建筑物。
- 确定在无穷远处具有建筑物的测地完备、局部紧致哈达姆空间何时为对称空间或欧氏建筑物。
- 建立此类空间之间的边界等价性（保持蒂茨度量的锥拓扑同胚）均由位似变换诱导。
- 将莫斯特与普拉萨德刚性定理推广至与对称空间或欧氏建筑物关于共(compact)等距群作用的商空间同伦等价的紧致奇异（或轨道）空间。
提出的方法
- 分析其蒂茨边界为连通不可约球面建筑物的测地完备、局部紧致哈达姆空间。
- 利用蒂茨度量研究其渐近行为，并根据测地线分支性质对空间进行分类。
- 引入“蝴蝶结”（蒂茨边界中一对对径房间）的概念，并在其中定义等价关系，以关联空间中的顶点。
- 应用平行集与凸核心的概念，分析平面及其边界结构。
- 使用蝴蝶结构造及轴向等距变换的性质，研究一秩与高秩情形。
- 应用等变拟等距论证与周期性平面的稠密性，诱导出 $Φ_{\infty}$ 边界同构，再通过主要刚性结果将其提升为位似变换。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，具有不可约球面建筑物在无穷远处的测地完备、局部紧致哈达姆空间为对称空间？
- RQ2高阶欧氏建筑物的渐近几何特性（以测地线行为为表征）为何？
- RQ3何时两个此类空间之间的边界等价（保持蒂茨度量的同胚）由位似变换诱导？
- RQ4莫斯特与普拉萨德刚性定理能否推广至与对称空间或欧氏建筑物的商空间同伦等价的奇异、非正曲率轨道空间？
- RQ5在模型空间中周期性平面与拟平面的性质如何与在 $Γ$-等变拟等距映射下目标空间的几何相关？
主要发现
- 测地完备、局部紧致的哈达姆空间 $X$，若其在无穷远处具有不可约球面建筑物，则 $X$ 为对称空间当且仅当 $X$ 中的完整测地线不分支。
- 若 $X$ 中的完整测地线发生分支，则 $X$ 为欧氏建筑物。
- 任意两个此类空间之间的边界等价（保持锥拓扑与蒂茨度量的同胚）均由位似变换诱导。
- 空间 $X$ 要么为对称空间，要么为欧氏建筑物，具体取决于其测地线的分支行为。
- 由 $X_{\text{model}}$ 与 $X$ 之间的 $Γ$-等变拟等距映射诱导的边界同构 $Φ_{\infty}$，在对 $X_{\text{model}}$ 的不可约因子进行缩放后，可提升为 $Γ$-等变等距变换。
- 莫斯特与普拉萨德刚性定理可推广至与对称空间或欧氏建筑物的商空间同伦等价的紧致奇异（或轨道）空间，其曲率为非正。
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