[论文解读] A Chiang-type Lagrangian in CP2

Ana Cannas da Silva|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文通过 $SU(2)$-作用构造了 $\mathbb{CP}^2$ 中 $\mathbb{RP}^2$ 的一种非标准拉格朗日子流形，其为一个 $SU(2)$-轨道，并证明其是通过圆作用在约化后的 $\mathbb{CP}^1$ 中一个大圆的一一横截提升。关键结果是该拉格朗日子流形在辛约化下是单调的，且具有最小 Maslov 指标 3 和非平凡的 Floer 同调，构成一个类似 Chiang 的例子。

ABSTRACT

We analyse a simple Chiang-type lagrangian in CP2 which is topologically an RP2 but exhibits a distinguishing behaviour under reduction by one of the toric circle actions, in particular it is a one-to-one transverse lifting of a great circle in CP1.

研究动机与目标

• 通过表示理论与 $SU(2)$-作用构造 $\mathbb{CP}^2$ 中一个非标准的拉格朗日子流形 $\mathbb{RP}^2$。
• 通过圆作用与矩映射 $\mu_2$ 分析其在辛约化下的行为。
• 证明该拉格朗日子流形是约化后 $\mathbb{CP}^1$ 中一个大圆的一一横截提升。
• 建立其单调性并计算其 Floer 同调，确认其为 Chiang 型拉格朗日子流形。

提出的方法

• 将拉格朗日子流形 $\mathcal{L}_2$ 定义为 $\mathbb{CP}^2$ 中点 $[1:0:1]$ 的 $SU(2)$-轨道，参数化为 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ 且满足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。
• 使用实坐标 $X = \Re(\alpha^2 + \beta^2)$，$Y = \Im(\alpha^2 + \beta^2)$，$Z = 2\Im(\bar{\alpha}\beta)$，证明 $\mathcal{L}_2 \simeq \mathbb{RP}^2$，通过 $S^2 / \pm 1$ 的商空间实现。
• 通过证明其在 $SU(2)$-作用下为对称的且位于 $\mu_2 = -1/6$ 的水平集上，验证 $\mathcal{L}_2$ 为拉格朗日子流形。
• 证明在第二个圆作用下，$\mathcal{L}_2$ 与 $\mu_2^{-1}(-1/6)$ 的交集具有横截性与单射性，确保其在 $\mathbb{CP}^1$ 上为一一横截提升。
• 通过复坐标比较，证明 $\mathcal{L}_2$ 中不同点在第二个圆作用下仅当相位平凡时才可相关，从而确认单射性。
• 应用 Biran 与 Cornea 及 Li 与 Wu 的结果，推导出单调性及对所有 $k \in \mathbb{Z}$ 有 $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $SU(2)$-作用构造 $\mathbb{CP}^2$ 中一个非标准的 $\mathbb{RP}^2$ 拉格朗日子流形，并证明其为单调？
• RQ2 该拉格朗日子流形在辛约化下是否为约化后 $\mathbb{CP}^1$ 中一个大圆的一一横截提升？
• RQ3 该拉格朗日子流形的 Floer 同调为何？其是否与 Chiang 型拉格朗日子流形的不变量一致？
• RQ4 该拉格朗日子流形在拓扑与动力学上与复共轭下的标准 $\mathbb{RP}^2$ 如何比较？
• RQ5 约化后的拉格朗日子流形 $\l_2 \subset \mathbb{CP}^1$ 是否单调？选择水平 $a = -1/6$ 是否能确保这一点？

主要发现

• 拉格朗日子流形 $\mathcal{L}_2$ 微分同胚于 $\mathbb{RP}^2$，且为 $\mathbb{CP}^2$ 中点 $[1:0:1]$ 的 $SU(2)$-轨道，其稳定子同构于 $\mathbb{Z}_2 \times S^1$。
• $\mathcal{L}_2$ 在 $\mathbb{CP}^2$ 上为对称的，因此是拉格朗日子流形，其在 Fubini-Study 辛形式下成立，经由表示理论分析确认。
• $\mathcal{L}_2$ 与水平集 $\mu_2^{-1}(-1/6)$ 的交集在第二个圆作用下具有横截性与单射性，确保其为一一横截提升。
• $\mathcal{L}_2 \cap \mu_2^{-1}(-1/6)$ 在商映射 $\pi$ 下的像是 $\mathbb{CP}^1$ 中的一个大圆，其继承自水平选择的单调性。
• 约化后的拉格朗日子流形 $\ell_2 \subset \mathbb{CP}^1$ 为一个大圆，因此是单调的，总面积为 $2\pi/3$。
• 原始拉格朗日子流形 $\mathcal{L}_2$ 是单调的，最小 Maslov 指标为 3，且对所有 $k \in \mathbb{Z}$ 有 $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$，确认其为 Chiang 型拉格朗日子流形。