[论文解读] A class of optimal control problems for mean-?field forward-backward stochastic systems with partial information

Guangchen Wang, Hua Xiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对部分信息下均值场前向-后向随机系统的新型最优控制框架，采用向后分离法与分解技术，推导出两个耦合的前向-后向最优滤波器。该研究为线性-二次控制问题建立了显式闭式解，拓展了其在数学金融中的应用，如资产负债管理与系统性风险建模。

ABSTRACT

This article is concerned with an optimal control problem derived by mean-field forward-backward stochastic differential equation with noisy observation, where the drift coefficients of the state equation and the observation equation are linear with respect to the state and its expectation. The control problem is different from the existing literature on optimal control for mean-field stochastic systems, and has more applications in mathematical finance, e.g., asset-liability management problem with recursive utility, systematic risk model. Using a backward separation method with a decomposition technique, two optimality conditions along with two coupled forward-backward optimal filters are derived. Several linear-quadratic optimal control problems for mean-field forward-backward stochastic differential equations are studied. Closed-form optimal solutions are explicitly obtained in detailed situations.

研究动机与目标

• 解决均值场前向-后向随机系统中的最优控制问题，其中状态方程与观测方程均关于状态及其数学期望为线性。
• 通过引入在现实金融系统中常见的噪声部分观测，扩展现有文献。
• 推导考虑均值场相互作用与部分信息结构的最优性条件与滤波器。
• 求解特定的线性-二次控制问题，并获得显式闭式解。
• 为涉及递归效用的资产负债管理与系统性风险建模应用提供理论基础。

提出的方法

• 应用向后分离法，解耦最优控制问题中的前向-后向结构。
• 采用分解技术，同时处理均值场分量与部分信息结构。
• 推导出两个耦合的前向-后向最优滤波器，用于在存在噪声观测时估计状态及其期望。
• 利用随机最大值原理与滤波理论，推导必要与充分最优性条件。
• 通过所推导的滤波器与Riccati型方程，求解问题的线性-二次变体。
• 在系数的特定结构假设下，通过解析推导建立闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获得状态的不完整且带噪声的观测时，如何为均值场前向-后向随机系统制定最优控制？
• RQ2 在部分信息条件下，此类控制问题的必要与充分最优性条件是什么？
• RQ3 如何推导出耦合的前向-后向最优滤波器，以在存在观测噪声时估计状态及其期望？
• RQ4 在何种结构条件下，该框架下线性-二次控制问题存在闭式解？
• RQ5 该框架在哪些金融场景中——如资产负债管理或系统性风险建模——可实现实际应用？

主要发现

• 本文推导出两个耦合的前向-后向最优滤波器，可在部分且带噪声的观测下实现状态与均值场的估计。
• 基于所推导的滤波结构，建立了该控制问题的必要与充分最优性条件。
• 对于线性-二次控制问题，本文获得了显式闭式最优控制与状态反馈律。
• 该解框架适用于涉及递归效用与系统性风险的金融模型，扩展了先前的均值场控制结果。
• 分解与向后分离技术成功处理了均值场系统中前向与后向分量之间的相互依赖性。
• 结果表明，部分信息与均值场效应可系统性地纳入最优控制设计中，且保持解析可处理性。