[论文解读] A class of repeated-root constacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ of Type $2$

Yuan Cao, Yonglin Cao+4 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文对有限链环 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上长度为 $np^k$ 的 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码给出了完整的代数表征，其中 $p$ 为奇素数，$e \geq 4$ 为偶数，且 $\gcd(n,p) = 1$。本文给出了这些码的显式表示，确定了其数量及其对偶码，并全面描述了这些码的结构，包括长度为 $p^k$ 的情形。主要贡献在于对这类 Type 2 重复根循环码实现了完整的分类与计数。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ where $p$ is an odd prime, $n$ be a positive integer satisfying ${ m gcd}(n,p)=1$, and denote $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ where $e\geq 4$ be an even integer. Let $δ,α\in \mathbb{F}_{p^m}^{ imes}$. Then the class of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ is a significant subclass of constacyclic codes over $R$ of Type 2. For any integer $k\geq 1$, an explicit representation and a complete description for all distinct $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ of length $np^k$ and their dual codes are given. Moreover, formulas for the number of codewords in each code and the number of all such codes are provided respectively. In particular, all distinct $(δ+αu^2)$-contacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^{e} angle$ of length $p^k$ and their dual codes are presented precisely.

研究动机与目标

• 为奇素数 $p$、偶数 $e \geq 4$ 且 $\gcd(n,p) = 1$ 的有限链环 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上的 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码提供完整的结构描述。
• 推导出长度为 $np^k$ 的 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码在 $R$ 上的显式表示，并确定其不同码的数量。
• 表征这些循环码的对偶码，并建立其代数结构。
• 当长度为 $p^k$ 时，对所有此类码实现精确的分类与计数。
• 将对非平凡有限链环中 Type 2 重复根循环码的理解，从简单根与 $e=2$ 的情形加以拓展。

提出的方法

• 作者利用有限链环的代数结构理论，特别是借助 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 与其类似伽罗华环的分解之间的同构关系。
• 他们采用环同构 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle \cong \mathbb{F}_{p^m}[\pi]/\langle \pi^e \rangle$，其中 $\pi$ 是一个本原不可约多项式的根，从而能够使用 $\pi$-进展开。
• 该方法涉及通过 $\pi$-进展开将码从剩余域 $\mathbb{F}_{p^m}$ 提升到环 $R$，并分析全环 $R[x]/\langle x^{np^k} - (\delta + \alpha u^2) \rangle$ 的理想结构。
• 作者应用 Hensel 提升理论，并利用 $\delta + \alpha u^2$ 是 Type 2 单位的事实，对全环进行分解并分类所有理想。
• 他们通过基于 $u$ 的幂零性与 $\mathbb{F}_{p^m}$-代数结构的递归提升过程，推导出所有此类码的显式生成元。
• 通过对偶内积分析对偶性，并利用循环移位参数的逆 $\gamma^{-1}$ 推导出对偶码的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$、偶数 $e \geq 4$ 且 $\gcd(n,p) = 1$ 的情形，$(\delta + \alpha u^2)$-循环码在 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上长度为 $np^k$ 的完整代数结构是什么？
• RQ2 在该环上，长度为 $np^k$ 的不同 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码有多少个，其确切数量是多少？
• RQ3 每个此类 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码的对偶码结构如何？其与原码有何关系？
• RQ4 这些码的生成元与基数如何随参数 $\delta, \alpha, e, p, k$ 和 $n$ 的不同取值而变化？
• RQ5 能否对长度为 $p^k$ 的特殊情况实现完整且显式的分类？

主要发现

• 在环 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 上，长度为 $np^k$ 的不同 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码的数量为 $p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot \left| \mathbb{F}_{p^m}^\times \right|^{e-2}$，该结果由生成元结构中参数选择的数量推导而来。
• 当长度为 $p^k$ 时，不同 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码的数量为 $5^{2l+1}$，具体值取决于情形索引（如 5、15、75 等），如表 1 所列。
• 一个长度为 $np^k$ 的 $(\delta + \alpha u^2)$-循环码的对偶码是 $(\delta^{-1} + \alpha^{-1} u^2)$-循环码，其结构通过逆参数与对偶生成理想显式描述。
• 每个此类码的基数为 $|\mathcal{C}| = p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot |\mathbb{F}_{p^m}|^{\text{rank}}$，具体大小取决于情形及生成元的数量。
• 本文为 $\mathbb{F}_5[u]/\langle u^e\rangle$ 上长度为 $p^k$ 的码提供了 15 个不同情形的完整列表（如 iv-1-1 到 iv-3-5），每个情形均给出显式生成元及其对应的对偶码。
• 码的结构完全由参数 $b, h, l, l_0, l_1$ 的选择决定，且利用 $\pi$-进展开可实现所有全环理想递归且系统化的构造。