[论文解读] A Coinductive Version of Milner's Proof System for Regular Expressions Modulo Bisimilarity

Clemens Grabmayer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory参考文献 11被引用 1

一句话总结

本文提出了 Milner 的正则表达式证明系统（模 bisimilarity）的共归纳重述，用一种允许在 Milner 的等式核心上进行 LEE 形状循环推导的规则，取代了非代数的不动点规则。证明了由此产生的系统 cMil 与共归纳组合系统 CLC 在定理上等价于 Milner 的原始系统，从而刻画了不动点规则的推导能力，并通过基于图的共归纳推理为完备性证明提供了新路径。

ABSTRACT

By adapting Salomaa's complete proof system for equality of regular expressions under the language semantics, Milner (1984) formulated a sound proof system for bisimilarity of regular expressions under the process interpretation he introduced. He asked whether this system is complete. Proof-theoretic arguments attempting to show completeness of this equational system are complicated by the presence of a non-algebraic rule for solving fixed-point equations by using star iteration. We characterize the derivational power that the fixed-point rule adds to the purely equational part $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ of Milner's system $ ext{$ ext{Mil}$}$: it corresponds to the power of coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ that have the form of finite process graphs with the loop existence and elimination property $ ext{LEE}$. We define a variant system $ ext{cMil}$ by replacing the fixed-point rule in $ ext{Mil}$ with a rule that permits $ ext{LEE}$-shaped circular derivations in $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ from previously derived equations as a premise. With this rule alone we also define the variant system $ ext{CLC}$ for merely combining $ ext{LEE}$-shaped coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$. We show that both $ ext{cMil}$ and $ ext{CLC}$ have proof interpretations in $ ext{Mil}$, and vice versa. As this correspondence links, in both directions, derivability in $ ext{Mil}$ with derivation trees of process graphs, it widens the space for graph-based approaches to finding a completeness proof of Milner's system. This report is the extended version of a paper with the same title presented at CALCO 2021.

研究动机与目标

• 刻画 Milner 的不动点规则 RSP* 向其等式核心 Mil´ 添加的推导能力。
• 通过识别一种能捕捉固定点解所需本质推理的共归纳框架，解决 Milner 系统长期存在的完备性开放问题。
• 基于 LEE 形状的共归纳证明，开发一个名为 cMil 的新证明系统，提供与 Milner 系统等价的替代形式化。
• 建立 Milner 系统、共归纳系统 cMil 与共归纳组合系统 CLC 之间的定理等价性，从而将证明理论与过程图语义联系起来。
• 通过识别一类自然的推导（LEE 形状）为未来完备性证明奠定基础，这些推导可系统化分析与简化。

提出的方法

• 引入‘LLEE 有证共归纳证明’的概念——一种具有 1-转移和分层环存在与消除（LLEE）结构的有限过程图，其中顶点标记为星表达式之间的等式。
• 通过用允许从 Mil´ 中已证明等式出发，通过 LEE 形状循环推导得出等式的规则，取代 Milner 的 RSP* 规则，定义一个新的证明系统 cMil。
• 引入 CLC 作为组合此类 LLEE 有证共归纳证明的内核系统，支持复杂推导的模块化构建。
• 建立证明转换，表明 Mil 中的每条推导均可有效转化为 cMil1（cMil 的变体）中的推导，反之亦然。
• 使用结构归纳法与过程图语义，证明 LLEE 形状图对应于模 Mil´-可证等价性下唯一可解的有界系统。
• 利用已知的 1-双生态与函数 1-双生态结果，表明星表达式的进程解释是 LLEE 1-图的像，从而支持在过程图上进行共归纳推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 Milner 的不动点规则 RSP* 向等式核心 Mil´ 添加了何种特定的推导能力？
• RQ2 Milner 系统中的不动点推理能否被基于具有 LEE 性质的有限过程图的共归纳证明系统完全捕捉？
• RQ3 是否存在一个与 Milner 系统等价的共归纳证明系统，其避免使用非代数规则，而改用循环的、基于图的推导？
• RQ4 CLC 中的推导能否被简化为有界深度的规范形式，从而暗示一条通往完备性的路径？
• RQ5 LLEE 有证共归纳证明与星表达式及其进程解释的语义之间有何关系？

主要发现

• Milner 系统中的不动点规则 RSP* 添加的推导能力恰好等价于在 Mil´ 上进行 LEE 形状循环推导的能力，而这种能力被 LLEE 有证共归纳证明框架所捕获。
• 共归纳系统 cMil 与 Milner 的原始系统 Mil 在定理上等价，这一结论通过双向有效证明转换得以证实。
• CLC 系统（组合 LLEE 有证共归纳证明）也与 Mil 在定理上等价，为双生态推理提供了模块化基础。
• Mil 中的每条推导均可通过模拟 RSP* 应用的 LLEE 有证共归纳证明，有效转换为 cMil1 中的推导。
• Milner 系统的 1-自由片段的完备性证明 [13] 被 CLC 中深度为 2 的推导所模拟，提示共归纳推导可能存在一种潜在规范形式。
• 任何星表达式的进程解释都是具有 LLEE 性质的 1-图在函数 1-双生态下的像，从而在语法与图结构之间建立了语义桥梁。