[论文解读] A Collatz-Wielandt characterization of the spectral radius of order-preserving homogeneous maps on cones

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用 29

一句话总结

本文为巴拿赫空间中正常锥上的保序、正 homogeneous 映射的谱半径建立了一个广义的 Collatz-Wielandt 特征化。证明了谱半径等于内部超特征向量的缩放因子的下确界，并在涉及锥本质谱半径的准紧性条件下，也等于闭锥中对应特征向量的最大特征值。

ABSTRACT

Several notions of spectral radius arise in the study of nonlinear order-preserving positively homogeneous self-maps of cones in Banach spaces. We give conditions that guarantee that all these notions lead to the same value. In particular, we give a Collatz-Wielandt type formula, which characterizes the growth rate of the orbits in terms of eigenvectors in the closed cone or super-eigenvectors in the interior of the cone. This characterization holds when the cone is normal and when a quasi-compactness condition, involving an essential spectral radius defined in terms of $k$-set-contractions, is satisfied. Some fixed point theorems for non-linear maps on cones are derived as intermediate results. We finally apply these results to show that non-linear spectral radii commute with respect to suprema and infima of families of order preserving maps satisfying selection properties.

研究动机与目标

• 统一并扩展巴拿赫空间中锥上保序、正 homogeneous 映射的谱半径的各种概念。
• 建立不同谱半径定义（基于轨道、超特征向量和特征向量）一致的条件。
• 为非负矩阵的经典 Collatz-Wielandt 定理提供非线性类比，适用于锥上的映射。
• 将锥上非线性映射的不动点定理作为中间结果推导。
• 证明在选择性质下，非线性谱半径关于上确界和下确界的运算可交换。

提出的方法

• 通过 $k$-集压缩和广义非紧性测度引入锥本质谱半径的概念。
• 应用非扩张映射理论和 Thompson 度量分析锥中轨道的行为。
• 利用锥内部的超特征向量和闭锥中特征向量来界定轨道增长。
• 通过有界集上的一致连续性和锥的正规性，确保 Collatz-Wielandt 特征化的有效性。
• 应用锥上非线性映射的不动点定理，推导谱半径的特征化。
• 通过上选和下选分析映射族，研究上确界和下确界谱半径。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，保序、齐次映射在锥上的不同谱半径定义会一致？
• RQ2 能否将 Collatz-Wielandt 型特征化从非负锥上的线性映射推广到一般正常锥上的非线性、保序、齐次映射？
• RQ3 通过 $k$-集压缩定义的锥本质谱半径在保证谱半径对应特征向量存在性方面起什么作用？
• RQ4 一族保序映射的点态上确界和下确界下，谱半径如何表现？
• RQ5 在何种情况下，谱半径等于闭锥中非零特征向量对应的最大特征值？

主要发现

• 在正常锥 $ C $ 上，正 homogeneous、保序映射 $ f $ 的谱半径 $ r(f, C) $ 等于 $ \inf\{\lambda > 0 \mid \exists u \in \mathrm{int}\,C,\ f(u) \leq \lambda u\} $，从而建立了广义的 Collatz-Wielandt 公式。
• 当 $ f $ 的锥本质谱半径严格小于 $ r(f, C) $ 时，谱半径也等于 $ \max\{\mu \geq 0 \mid \exists v \in C \setminus \{0\},\ f(v) = \mu v\} $，保证了非零特征向量的存在性。
• 在适当的连续性和正规性条件下，谱半径与满足选择性质的保序、齐次映射族的上确界和下确界可交换，即 $ r(\sup f_a, C) = \sup r(f_a, C) $ 且 $ r(\inf f_a, C) = \inf r(f_a, C) $。
• 该结果将经典 Collatz-Wielandt 定理由 $ \mathbb{R}^n_+ $ 上的线性映射推广到抽象正常锥上的非线性、齐次、保序映射。
• 若 $ f $ 的某个迭代是紧的，则锥本质谱半径为零，满足特征向量特征化的关键条件。
• 在所述条件下，即使在无限维巴拿赫空间中，也能保证存在一个实现谱半径的非零特征向量。