[论文解读] A combinatorial approach to classical representation theory

Martin Rubey, Bruce W. Westbury|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文提出了一种经典表示理论的组合框架，利用图示范畴构造经典群与对称群作用下的不变量显式基。该框架为辛群的第二基本定理提供了清晰的图示化证明，并建立了$(n+1)$-非交叉匹配与$k$-正则图的循环筛分现象，统一推导出显式的弗罗贝尼乌斯特征公式与分支规则。

ABSTRACT

A fundamental problem from invariant theory is to describe the endomorphism algebra of multilinear functions on a representation V invariant under the action of a group G. According to Weyl's classic, a first main (later: fundamental) theorem of invariant theory provides a finite spanning set for this algebra, whereas a a second main theorem describes the linear relations between those basic invariants. We use diagrammatic methods to carry Weyl's programme a step further, providing explicit bases for the subspace of the r-th tensor powers of V invariant under the action of G, that are additionally preserved by the action of the long cycle of the symmetric group on r letters. The representations we study are essentially those that occur in Weyl's book: the defining representations of the symplectic groups, the defining representations of the symmetric groups considered as linear representations, and the adjoint representations of the linear groups. In particular, we present a transparent, combinatorial proof of a second fundamental theorem for the defining representation of the symplectic groups Sp(2n). Our formulation is explicit and provides a very precise link to (n+1)-noncrossing perfect matchings, going beyond a dimension count. Extending our argument to the k-th symmetric powers of these representations, the combinatorial objects involved turn out to be (n+1)-noncrossing k-regular graphs. As corollaries we obtain instances of the cyclic sieving phenomenon for these objects and the natural rotation action. In general, we derive branching rules for the diagram algebras corresponding to the representations in a uniform way. We also compute the Frobenius characteristics of modules of the diagram algebras restricted to the action of the symmetric group and obtain the isotypic decomposition of the r-th tensor power of V when n is large enough in comparison to r.

研究动机与目标

• 开发一种避免复杂代数工具的组合图示化方法，用于经典表示理论。
• 构造$igotimes^r V$中$G$-不变张量的显式基，使其在$S_r$中长循环作用下保持不变。
• 利用$(n+1)$-非交叉完美匹配，为$ {Sp}(2n)$的定义表示提供完整且显式的第二基本定理。
• 将该框架扩展至$k$-次对称幂，识别出$(n+1)$-非交叉$k$-正则图为相关组合对象。
• 在这些组合集合上旋转作用下，建立循环筛分现象的实例。

提出的方法

• 使用图示范畴——布劳尔范畴、分拆范畴与有向布劳尔范畴——来建模自同态代数$ {End}_G(\bigotimes^r V)$。
• 从图示范畴自同态代数到实际$G$-不变自同态代数的同态构造，实现第一基本定理。
• 通过对称函数与舒尔函数（特别是$s_\nu * s_\nu$与$p_\nu$）计算$G \times \fS_r$-模的弗罗贝尼乌斯特征。
• 通过非交叉性与正则性等组合约束，将图示范畴映射的核识别为第二基本定理。
• 利用莫里塔等价与提升函子，将图示代数模与$G$的不可约表示联系起来。
• 显式构造在$S_r$中长循环作用下不变的基，通过匹配与图的旋转作用实现循环筛分现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 组合图示方法能否为$ {Sp}(2n)$的定义表示提供第二基本定理的透明证明？
• RQ2 哪些组合对象参数化$ {Sp}(2n)$、$ {S}_n$与$ {GL}(n)$的定义表示在$igotimes^r V$中的不变量？
• RQ3 是否存在$igotimes^r V$中$G$-不变张量的基，使其在$S_r$中长循环作用下保持不变？
• RQ4 能否为$ {GL}(n)$的伴随表示的张量幂实现循环筛分现象，并给出显式的组合模型？
• RQ5 如何统一计算经典群下图示代数的弗罗贝尼乌斯特征与分支规则？

主要发现

• 为$ {Sp}(2n)$建立了完整且显式的第二基本定理，其中不变量由$(n+1)$-非交叉完美匹配参数化。
• 对于所研究表示的$k$-次对称幂，相关组合对象为$(n+1)$-非交叉$k$-正则图。
• $\fS_r$-模的弗罗贝尼乌斯特征为$\sum_{\lambda \vdash r} p_\lambda = \sum_{\lambda} s_\lambda * s_\lambda$，其中$p_\lambda$为幂和对称函数。
• 通过一般定理确定了大$n$时$\bigotimes^r V$的同型分解，统一描述了分支规则。
• 当$n \geq 2r$时，长循环在排列上的作用满足循环筛分现象，生成多项式为$P(q) = \mathbf{fd} \sum_{\lambda \vdash r} p_\lambda$。
• 为所有$n$显式构造了在长循环作用下不变的$G$-不变张量基，以组合显式方式解决了长期悬而未决的开放问题。