[论文解读] A Compactness Theorem for the Second Fundamental Form

Andrew A. Cooper|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 18

一句话总结

该论文仅通过第二基本形式及其协变导数的有界性，建立了子流形的紧致性定理，无需体积或直径约束。证明了第二基本形式一致有界的浸入序列在几何上收敛于极限浸入，从而在平均曲率流的有限时间奇点中构造出光滑的奇点模型。

ABSTRACT

In this note we establish several versions of a compactness theorem for submanifolds. In particular we require only bounds on the second fundamental form and do not assume volume or diameter bounds. As an application we prove a compactness theorem for mean curvature flows and use it to construct smooth blow-up limits as singularity models.

研究动机与目标

• 建立仅依赖于第二基本形式及其导数有界性的黎曼浸入的紧致性定理，无需体积或直径有界性。
• 通过引入一种纠正重参数化自由度的几何收敛框架，克服浸入收敛中的微分同胚不变性问题。
• 将紧致性结果应用于构造有限时间奇点的平均曲率流的光滑爆破极限。
• 证明光滑爆破极限为自相似收缩流，从而将其与奇点理论中的经典切流构造联系起来。

提出的方法

• 基于将环境流形嵌入欧几里得空间，并通过拉回度量和霍尔德范数定义收敛性的几何收敛框架。
• 通过在极限流形上固定一个背景度量，控制重参数化自由度，对阿泽拉-阿斯科利定理进行修改。
• 通过以奇点为中心的爆破过程构造一系列缩放后的浸入，缩放因子由第二基本形式导出。
• 利用休斯肯的单调性公式和类型I假设，证明缩放极限满足自相似收缩器方程。
• 在紧集上证明以 $C^{ ho+1, heta}$ 拓扑收敛，确保极限流的光滑性。
• 通过证明极限满足自相似收缩器条件 $ H = -\frac{1}{2} x^\perp $，将光滑爆破与切流联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过第二基本形式及其导数的有界性，而不依赖体积或直径约束，建立浸入的紧致性定理？
• RQ2 如何克服第二基本形式的微分同胚不变性，以实现浸入的几何收敛？
• RQ3 能否将具有有限时间奇点的平均曲率流的光滑爆破极限构造为缩放流的极限？
• RQ4 类型I奇点的光滑爆破极限是否必为自相似收缩流？
• RQ5 光滑爆破极限与奇点分析中经典的切流有何关系？

主要发现

• 在环境流形曲率和注入半径有界条件下，建立了第二基本形式及其协变导数一致有界的浸入序列的紧致性定理。
• 此类序列的极限存在为 $C^{ ho+1, heta}$-光滑浸入，进入一个完备黎曼流形，且在几何 $C^{ ho+1, heta}$ 拓扑下收敛。
• 具有有限时间奇点的平均曲率流的光滑爆破极限在欧几里得空间中为光滑的自相似收缩平均曲率流。
• 爆破极限满足自相似收缩器方程 $ H = -\frac{1}{2} x^\perp $，证实其为光滑奇点模型。
• 该构造表明，平均曲率流的类型I奇点具有等价于极限中切流的光滑爆破极限。
• 该结果意味着，任何无限多个正则同伦类的浸入都无法由一致有界的体积和第二基本形式表示。