[论文解读] A complete anytime algorithm for balanced number partitioning

Stephan Mertens|ArXiv.org|Mar 11, 1999

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于平衡数字划分问题的完整在线算法，结合了平衡最大差分法（BLDM）与Korf的完整Karmarkar-Karp算法。该算法首先返回BLDM解，并逐步改进它，在实践中能够最优求解最多12位有效数字的实例，同时通过随时间持续优化解来处理更高精度的数值。

ABSTRACT

Given a set of numbers, the balanced partioning problem is to divide them into two subsets, so that the sum of the numbers in each subset are as nearly equal as possible, subject to the constraint that the cardinalities of the subsets be within one of each other. We combine the balanced largest differencing method (BLDM) and Korf's complete Karmarkar-Karp algorithm to get a new algorithm that optimally solves the balanced partitioning problem. For numbers with twelve significant digits or less, the algorithm can optimally solve balanced partioning problems of arbitrary size in practice. For numbers with greater precision, it first returns the BLDM solution, then continues to find better solutions as time allows.

研究动机与目标

• 解决平衡数字划分问题，即需将数字划分为两个和接近相等、且大小也接近相等的子集。
• 开发一种既完整（保证获得最优解）又在线（随时间改进解）的算法。
• 通过先返回一个良好的启发式解，再逐步优化，以有效处理高精度数值。
• 结合BLDM的高效性与Karmarkar-Karp算法的最优性，实现更优越的性能。

提出的方法

• 将平衡最大差分法（BLDM）作为初始启发式方法，以快速生成可行解。
• 使用Korf的完整Karmarkar-Karp算法系统性地探索解空间，并保证最优性。
• 维护一个部分划分的优先队列，优先选择子集和差异最小的划分。
• 递归应用Karmarkar-Karp差分技术以减小问题规模并提升解的质量。
• 在初始BLDM输出之后继续优化解，尤其针对高精度输入。
• 采用混合策略：BLDM提供快速初始起点，Karmarkar-Karp确保完整性和最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为平衡数字划分问题设计一种完整在线算法，既能保证最优性，又能随时间持续改进解？
• RQ2 如何将BLDM的高效性与Karmarkar-Karp算法的完整性相结合，以有效求解大规模实例？
• RQ3 这种混合算法在最多12位有效数字的数值上的性能极限是什么？
• RQ4 在最优解更难计算的高精度输入下，该算法的行为如何？
• RQ5 在在线优化过程中，解的质量与计算时间之间的权衡是什么？

主要发现

• 该算法在实践中可最优求解具有最多12位有效数字的平衡划分问题。
• 对于更高精度的输入，该算法首先返回BLDM解，并持续随时间改进该解。
• BLDM与Karmarkar-Karp的结合确保了快速初始性能和最终最优性。
• 该算法是完整的，意味着无论输入规模或精度如何，最终都能找到最优解。
• 其在线特性允许用户在任意时刻停止计算，并获得迄今为止找到的最佳解。
• 该方法有效平衡了解的质量与计算投入，适用于具有不同时间约束的实际应用场景。