[论文解读] A Comprehensive subclass of analytic and bi-univalent functions associated with subordination

Ala Amourah, Mohamed Illafe|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文通过法伯多项式展开与次序理论，在单位圆盘中引入了一类新的解析且双单值函数的子类。通过应用微分算子并利用次序关系下的系数界，作者建立了 |a₂| 和 |a₃| 的精确上界，并在中间系数为零的条件下，推广得到 |aₙ| 的一般上界，从而扩展了几何函数论中的先前结果。

ABSTRACT

In the present paper, we define a new general subclass of bi-univalent functions involving a differential operator in the open unit disk U. For this purpose, we use the Faber polynomial expansions. Several connections to some of the earlier known results are also pointed out.

研究动机与目标

• 通过涉及 μ、λ、δ 和 ξ = (2λ+μ)/(2λ+1) 的微分算子，在单位圆盘中定义一类新的双单值函数的一般子类。
• 应用法伯多项式展开，推导解析双单值函数的系数估计。
• 通过次序理论与多项式技术，推广并扩展先前在类 Σ 中关于系数界的成果。
• 在特定系数为零的条件下，建立 |a₂|、|a₃| 和 |aₙ| 的精确上界。

提出的方法

• 作者通过涉及 μ、λ、δ 和 ξ = (2λ+μ)/(2λ+1) 的微分算子，定义了双单值函数的新子类 BΣ(μ,λ,Φ,ξ)。
• 应用法伯多项式展开，表示 f(z) 及其逆函数 f⁻¹(w) 的泰勒级数，从而实现系数提取。
• 利用次序理论，将微分表达式与具有正实部的函数 Φ(z) 关联，确保 Re(Φ(z)) > 0。
• 通过齐次多项式 Kₙ₋₁⁻ⁿ 将 f 和 f⁻¹ 的系数与 a₂, a₃, ..., aₙ 关联。
• 通过比较微分表达式与 Φ(ϖ(z)) 的法伯级数展开中的系数，推导出 aₙ 与 Φₙ 之间的关系。
• 通过系数比较与三角不等式，获得界 |a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))] 和 |a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)]。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过次序与微分算子定义的新子类双单值函数中，|a₂| 和 |a₃| 的精确上界是什么？
• RQ2 法伯多项式展开如何促进双单值函数系数估计的推导？
• RQ3 当 2 ≤ m ≤ n−1 时，若 aₘ = 0，|aₙ| 的一般上界是什么？
• RQ4 本研究结果如何推广或扩展文献中已有的系数估计结果，例如 Tan (1984) 或 Yousef 等人的工作？

主要发现

• |a₂| 的精确上界为 |a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))], 该结果由系数比较与次序约束推导得出。
• |a₃| 的界为 |a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)], 通过相减系数方程并应用三角不等式获得。
• 当 n ≥ 4 且 2 ≤ m ≤ n−1 时，若 aₘ = 0，则 |aₙ| ≤ 2 / [μ + (n−1)λ + n(n−1)ξδ]，该结果由涉及 Φ₁ 与法伯多项式的系数关系的绝对值推导得出。
• 当 δ = 0 时，结果退化为已知定理，确认与先前工作（如文献 [4] 中的定理 1 和 2）的一致性。
• 法伯多项式的使用使得双单值函数高阶项系数估计能够系统化推导。