[论文解读] A computationally efficient method to solve the Takagi-Taupin equations for a large deformed crystal

A. Honkanen, G. Monaco+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Microstructure and mechanical properties参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文提出了一种计算高效的算法，通过将缓慢变化的应变分量视为局部波长或入射角的偏移，求解大块形变晶体中的Takagi-Taupin方程，从而实现反射率曲线的精确计算。该方法在球面弯曲硅片上的实验数据中表现出极佳的一致性，证明了其在具有复杂应变场的X射线分光计中的预测能力。

ABSTRACT

We present a treatise on solving the Takagi-Taupin equations in the case of a strain field with an additional, spatially slowly varying component (owing to \\emph{e.g.}~heat expansion or angular compression). We show that the presence of such a component in a typical case merely shifts the reflectivity curve as a function of wavelength or incidence angle, while having a negligible effect on its shape. On the basis of the derived result, we develop a computationally efficient method to calculate the reflectivity curve of a large deformed crystal. The validity of the method is demonstrated by comparing computed reflectivity curves with experimental ones for bent silicon wafers. A good agreement is observed.

研究动机与目标

• 解决在空间缓慢变化的应变场下，对宏观形变晶体求解Takagi-Taupin方程所面临的计算挑战。
• 开发一种方法，准确捕捉角度压缩和热膨胀对X射线反射率的影响，而无需在整个晶体上求解完整的偏微分方程组。
• 实现对用于高分辨率非弹性X射线散射的弯曲晶体分光计的反射率曲线的精确模拟。
• 将该方法与欧洲核子研究中心（ESRF）ID20光束线的球面弯曲Si(660)晶体的实验反射率测量结果进行对比验证。

提出的方法

• 将应变场分解为快速变化的深度相关分量和缓慢变化的宏观分量。
• 将缓慢变化应变的影响建模为晶体表面各处的入射光子波长或入射角的局部偏移。
• 使用一维Takagi-Taupin方程计算深度相关应变分量的反射率曲线。
• 利用方程（11）或（15）计算波长或角度偏移（δλ 或 δθ）的空间分布，其由应变梯度和晶体几何形状推导得出。
• 通过将基础TT-曲线与δλ 或 δθ 分布进行卷积，获得总反射率曲线，同时通过高斯卷积考虑光束发散度和源带宽的影响。
• 将该方法应用于已知应变场的球面弯曲硅片，与ESRF ID20光束线的实验数据进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 缓慢变化的应变分量（如由角度压缩引起者）如何影响大块形变晶体的X射线反射率曲线？
• RQ2 这种应变分量的影响是否可以近似为波长或入射角的简单偏移，而无需求解完整的双束Takagi-Taupin方程？
• RQ3 在宏观弯曲晶体的反射率曲线预测中，忽略缓慢变化的应变分量会导致多大程度的误差？
• RQ4 基于局部偏移的半解析方法能否在复杂晶体几何形状下高精度复现实验反射率曲线？

主要发现

• 缓慢变化的应变分量主要引起反射率曲线在能量（波长或角度）上的整体偏移，而对其形状影响甚微，宽度的相对变化低于1%。
• 该方法在球面弯曲Si(660)晶体上的理论预测与实验反射率曲线高度一致，其弯曲半径为1 m，厚度为300 µm。
• 若忽略缓慢变化的应变分量，将导致显著误差，使反射率曲线在能量增益方向上产生约0.5 eV的虚假偏移。
• 包括235 meV FWHM高斯带宽卷积的计算反射率曲线，在形状和相对强度分布上均与实验数据吻合良好。
• 该方法计算效率高且可扩展，使得在全数值求解TT方程在计算上不可行的大晶体中，也能实现精确的反射率计算。
• 即使在接近背向散射条件下，该方法依然有效，而传统基于布喇格角的公式在此类情况下会失效。