[论文解读] A Computer Algebra Toolbox for Harmonic Sums Related to Particle Physics

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 31被引用 142

一句话总结

本文介绍了 HarmonicSums 计算代数软件包，用于对粒子物理振幅中的调和和、Euler-Zagier 和以及调和多 polylogarithms 进行符号运算。该工作建立了拟打乱代数框架，通过扩展的 Mellin 变换实现微分运算，并提出了将嵌套和转化为调和和表达式的算法，显著促进了量子场论中费曼积分的求值。

ABSTRACT

In this work we present the computer algebra package HarmonicSums and its theoretical background for the manipulation of harmonic sums and some related quantities as for example Euler-Zagier sums and harmonic polylogarithms. Harmonic sums and generalized harmonic sums emerge as special cases of so-called d'Alembertian solutions of recurrence relations. We show that harmonic sums form a quasi-shuffle algebra and describe a method how we can find algebraically independent harmonic sums. In addition, we define a differentiation on harmonic sums via an extended version of the Mellin transform. Along with that, new relations between harmonic sums will arise. Furthermore, we present an algorithm which rewrites certain types of nested sums into expressions in terms of harmonic sums. We illustrate by nontrivial examples how these algorithms in cooperation with the summation package Sigma support the evaluation of Feynman integrals.

研究动机与目标

• 开发一个系统化的计算框架，用于处理量子场论中出现的调和和及相关特殊函数。
• 将调和和的代数结构形式化为拟打乱代数，并确定代数独立基。
• 通过扩展的 Mellin 变换定义调和和上的新型微分运算，揭示新的代数关系。
• 设计算法，将嵌套和转化为调和和表达式，实现简化与求值。
• 将 HarmonicSums 软件包与 Sigma 求和系统集成，实现费曼积分的自动化求值。

提出的方法

• 将调和和形式化为递推关系的 d’Alembertian 解，并建立其拟打乱代数结构。
• 利用 Lyndon 单词构造代数独立调和和的基，并推导简化规则。
• 通过扩展的 Mellin 变换定义调和和上的微分算子，生成新的代数恒等式。
• 应用逆 Mellin 变换将调和多 polylogarithms 映射为多重调和和，实现结构分析。
• 开发一种算法，利用打乱和拟打乱代数恒等式，将特定类型的嵌套和重写为调和和表达式。
• 将 HarmonicSums 软件包与 Sigma 求和系统集成，实现微扰量子场论中费曼积分的自动化求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在符号计算中系统地表示和操作调和和及相关特殊函数？
• RQ2 调和和的底层代数结构是什么？如何构建一个最小的代数独立基？
• RQ3 如何在调和和上一致地定义微分运算？该运算会产生哪些新的代数关系？
• RQ4 哪些算法方法可实现将复杂嵌套和转化为调和和表达式？
• RQ5 HarmonicSums 与 Sigma 的联合使用如何支持粒子物理中多尺度费曼积分的求值？

主要发现

• 调和和构成一个拟打乱代数，且可利用 Lyndon 单词构造代数独立和的基，其数量由 Möbius 反演给出。
• 扩展的 Mellin 变换使调和和上的微分运算成为可能，从而导出它们之间新的非平凡代数关系。
• 多重调和和的逆 Mellin 变换可算法化计算，最复杂的和通过递归约化过程确定。
• 提出一种新颖算法，可将特定类型的嵌套和重写为调和和表达式，实现符号计算中的简化与求值。
• HarmonicSums 与 Sigma 软件包的集成实现了费曼积分的自动化求值，已在量子场论的非平凡实例中得到验证。
• 该框架成功支持了量子色动力学中三圈阶异常维数与威尔逊系数的计算。