[论文解读] A computer search for planar substitution tilings with n-fold rotational symmetry

Franz Gähler, Eugene E. Kwan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有 n 重旋转对称性的平面替代镶嵌的计算机辅助搜索，重点研究角度为 π/n 整数倍的三角形原型拼块。通过系统性算法，作者发现了新的替代规则——特别是针对 7 重对称性——这些规则允许非整数的膨胀因子，并展现出全局 n 重对称性，包括一些在第二上同调群上具有出人意料的非单模作用的特性。

ABSTRACT

We describe a computer algorithm that searches for substitution rules on a set of triangles, the angles of which are all integer multiples of π/n. We find new substitution rules admitting 7-fold rotational symmetry at many different inflation factors.

研究动机与目标

• 识别在角度为 π/n 整数倍的最小三角形集合上的新替代规则，特别是那些能产生具有全局 n 重旋转对称性的镶嵌的规则。
• 探索不源自 [19] 中一般构造的替代规则，特别是那些不使用所有此类三角形，而专注于特定原型拼块集合的规则。
• 在相同原型拼块集合上寻找多个兼容的替代规则，这些规则可组合成边对边的多替代或随机替代镶嵌。
• 研究这些新替代的动力学与拓扑性质，特别是其上同调行为和膨胀因子结构。
• 通过发现具有此类特性的新例子，弥补二维边对边替代中非整数膨胀因子的缺失。

提出的方法

• 设计一种计算机算法，系统性地搜索一组角度为 π/n 整数倍的三角形上的替代规则，使用有限的原型拼块集合。
• 实现基于约束的搜索，检查边匹配兼容性，包括边的分解与边的方向，以确保替代规则能生成边对边的镶嵌。
• 将膨胀因子 λ = 2 + 2cos(π/n) 作为关键参数，对 n = 7, 8, 9 及更高值进行特定测试，以探索不同的缩放行为。
• 应用递归分解方法，测试给定原型拼块是否能以保持旋转对称性的方式，被划分为自身及其他原型拼块的较小副本。
• 使用 Anderson-Putnam 复形分析所得镶嵌空间的上同调性质，特别关注第一与第二上同调群上的作用。
• 通过兼容性过滤结果：仅保留所有原型拼块之间边分解与方向均匹配的替代规则，以支持组合成多替代或随机替代系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发现新的替代规则，即使无法从 [19] 中的一般方法推导，也能产生具有全局 n 重旋转对称性的平面镶嵌？
• RQ2 具有非整数膨胀因子但依然产生边对边 n 重对称镶嵌的替代规则具有哪些特性？
• RQ3 这些新替代规则中，哪些在第二上同调群上表现出非单模作用，这对它们的动力谱意味着什么？
• RQ4 在相同原型拼块集合上存在多少个兼容的替代规则？它们能否组合成多替代或随机替代系统？
• RQ5 是否存在一致出现的结构性或几何约束（例如边方向规则），这些规则如何与旋转对称性相关联？

主要发现

• 该算法成功发现了具有非整数膨胀因子的 7 重旋转对称性的新替代规则，其中一些规则不属于 [8] 或 [15] 中的家族。
• 对于 λ₁ = 2 + 2cos(π/7)，搜索得到了 12 种不同的替代规则，其中一种在第二上同调群上表现出非单模作用。
• 对于 λ₂ = 2 + 2cos(π/8)，找到了 18 种兼容的替代规则，每种边分解/方向组合支持多个结果。
• 对于 λ₃ = 2 + 2cos(π/9)，在 T(2,2,3) 上找到 36 个兼容结果，在 T(1,3,3) 上找到 5 个，在 T(1,2,4) 上找到 3 个，所有结果均可组合为随机替代。
• 多个替代规则，特别是图 8(b) 和图 8(a) 中最左侧的 T(2,2,3) 结果，表现出在第二上同调群上的非单模作用，这是一种罕见且具有拓扑重要意义的性质。
• 结果表明边方向规则具有一致性：在偶数倍 π/n 处相接的边具有相同方向（均进入或均离开），而在奇数倍处则方向相反，从而保持 n 重对称性但不保持 2n 重对称性。