[论文解读] A conjectural connection between R^*(C_g^n) and R^*(M_{g,n}^rt)

Mehdi Tavakol|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了关于光滑曲线带 $n$ 个有序点（可能不互异）的模空间 $\mathcal{C}_g^n$ 与具有有理尾的稳定 $n$-点曲率模空间 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 之间塔陶洛吉卡关系的猜想字典。该文证明了该猜想在塔陶洛吉卡环的戈伦斯坦商上的类比，表明 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 的塔陶洛吉卡群在度数 $g-2+n$ 时为一维，并在更高次度上消失，其依据来自吕詹加与法伯的结果。

ABSTRACT

Let M_{g,n}^rt be the moduli space of stable n-pointed curves of genus g>1 with rational tails. We also consider the space C_g^n classifying smooth curves of genus g with not necessarily distinct n ordered points. There is a natural proper map from M_{g,n}^rt to C_g^n which contracts all rational components. Tautological classes on these spaces are natural algebraic cycles reflecting the geometry of curves. In this short note we study the connection between tautological classes on M_{g,n}^rt and C_g^n. We show that there is a natural filtration on the tautological ring of M_{g,n}^rt consisting of g-2+n steps. A conjectural dictionary between tautological relations on M_{g,n}^rt and C_g^n is presented. Our conjecture predicts that the space of relations in R^*(M_{g,n}^rt) is generated by relations in R^*(C_g^n) together with a class of relations obtained from the geometry of blow-ups. This conjecture is equivalent to the the independence of certain tautological classes in Chow. We prove the analogue version of our conjecture for the Gorenstein quotients of tautological rings.

研究动机与目标

• 建立 $\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 这两个代数几何中关键模空间之间塔陶洛吉卡关系的猜想对应。
• 分析 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上塔陶洛吉卡环的结构，特别是其滤波与消失行为。
• 证明该猜想在这些塔陶洛吉卡环的戈伦斯坦商上的类比。
• 通过上推与限制映射，阐明 $\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上塔陶洛吉卡类之间的关系。
• 将 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 的塔陶洛吉卡结构与吕詹加和法伯对 $\mathcal{C}_g^n$ 的已知结果联系起来。

提出的方法

• 将塔陶洛吉卡环 $R^*(\mathcal{C}_g^n)$ 与 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 定义为由 kappa 类 $\kappa_i$、除子类 $K_i$、$d_{i,j}$ 以及边界除子 $D_I$ 生成的查沃环的子代数。
• 基于有理尾的数量与特殊点的数量，构建 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 的长度为 $g-2+n$ 的自然滤波。
• 利用收缩映射 $p: \mathcal{M}_{g,n}^{rt} \to \mathcal{C}_g^n$，通过上推与限制关系关联塔陶洛吉卡类。
• 应用吕詹加在 $\mathcal{C}_g^n$ 上的消失定理与法伯的结果，推导出 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 的结构。
• 通过单项式的图结构对归纳法及 $D_I$ 类上的消失关系，证明猜想字典在戈伦斯坦商上的成立。
• 分析度数为 $g-2+n$ 的标准单项式，表明非消失性要求不存在非平凡图分量，从而说明该度数下环为一维。

实验结果

研究问题

• RQ1 塔陶洛吉卡关系在 $\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 之间的精确关系是什么？
• RQ2 能否制定出 $\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上塔陶洛吉卡关系之间的字典，以推广已知结果？
• RQ3 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 的塔陶洛吉卡环是否在度数高于 $g-2+n$ 时消失，且在度数 $g-2+n$ 时是否为一维？
• RQ4 在猜想字典下，$\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上塔陶洛吉卡环的戈伦斯坦商之间有何关系？
• RQ5 通过所提议的对应关系，皮克森在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的塔陶洛吉卡关系能否与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 和 $\mathcal{C}_g^n$ 上的关系相联系？

主要发现

• 在度数 $g-2+n$ 时，$\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 的塔陶洛吉卡群为一维，并在所有更高次度上消失。
• 关于 $\mathcal{C}_g^n$ 与 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上塔陶洛吉卡关系的猜想字典，在塔陶洛吉卡环的戈伦斯坦商上成立。
• $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 的结构源于吕詹加在 $\mathcal{C}_g^n$ 上的消失定理与法伯对 $\mathcal{C}_g^n$ 上塔陶洛吉卡环的结果。
• $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上度数为 $g-2+n$ 的标准单项式必须来自 $\mathcal{C}_g^n$ 上类的拉回，意味着边界贡献无非平凡部分。
• $\mathcal{C}_g^n$ 上 $\kappa_i$（$i > g-2$）的消失性，通过收缩映射意味着在 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 上同样成立。
• 证明依赖于通过图结构分析单项式关系，以及涉及 $D_I$ 与 $d_{i,j}$ 类的乘积的消失性，表明仅平凡图能产生上度数下的非零类。