[论文解读] A connection between multiresolution wavelet theory of scale N and representations of the Cuntz algebra O_N

Ola Bratteli, Palle E. T. Jørgensen|ArXiv.org|Dec 19, 1996

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文建立了尺度 N 的多分辨率小波理论与 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$ 表示之间的精确数学联系。它表明 $L^2(\mathbb{R})$ 中的小波尺度函数和多分辨率结构对应于 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$ 的特定表示，为小波理论提供了 C*-代数框架，并通过代数方法实现了小波的构造。

ABSTRACT

In this paper we give a short survey of a connection between the theory of wavelets in L^2(R) and certain representations of the Cuntz algebra on L^2(T).

研究动机与目标

• 建立尺度 N 的多分辨率小波系统与 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$ 表示之间的严格对应关系。
• 展示 $L^2(\mathbb{R})$ 中的小波尺度函数及其相关子空间如何从 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$ 的表示中产生。
• 通过 Cuntz 代数的关系，为多分辨率分析（MRA）结构提供 C*-代数解释。
• 通过表明基本的小波构造过程编码于 $\mathcal{O}_N$ 的代数关系中，统一小波理论与算子代数。
• 为通过 $\mathcal{O}_N$ 的表示理论构造小波奠定基础，为小波系统提供一种新的代数视角。

提出的方法

• 利用由等距算子 $S_1, \dots, S_N$ 定义的 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$，满足 $\sum_{i=1}^N S_i S_i^* = I$ 且 $S_i^* S_j = \delta_{ij}I$。
• 通过傅里叶基和 $N$-进制缩放结构，在 $L^2(\mathbb{T})$ 上构造 $\mathcal{O}_N$ 的表示。
• 通过酉等价将 $L^2(\mathbb{R})$ 中的多分辨率结构（包括尺度子空间和小波子空间）映射到 $\mathcal{O}_N$ 的表示空间。
• 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中的尺度函数 $\phi$ 与 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$-表示中的循环向量之间建立对应关系。
• 利用与 $\mathcal{O}_N$ 相关的等距移位算子，对小波理论中固有的缩放与平移操作进行建模。
• 将 $\mathcal{O}_N$ 表示理论应用于从表示空间中的循环向量生成或正交小波基。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$ 对尺度 N 的多分辨率小波系统进行代数表征？
• RQ2 在 $L^2(\mathbb{T})$ 上的 $\mathcal{O}_N$-表示中，尺度函数与循环向量之间的精确对应关系是什么？
• RQ3 基本的小波构造过程——缩放、平移与正交性——能否从 $\mathcal{O}_N$ 的关系中推导出来？
• RQ4 尺度 N 的多分辨率分析中的子空间如何与 $\mathcal{O}_N$-表示的不变子空间相关联？
• RQ5 $\mathbb{R}$ 的 $N$-进制结构在连接 $L^2(\mathbb{R})$ 小波与 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$ 的表示中起到什么作用？

主要发现

• 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中的尺度 N 多分辨率小波系统与 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$ 的表示完全对应。
• $L^2(\mathbb{R})$ 中的尺度函数 $\phi$ 与 $L^2(\mathbb{T})$ 上 $\mathcal{O}_N$-表示中的循环向量酉等价。
• 多分辨率分析中的小波子空间在 $\mathcal{O}_N$-表示空间中被实现为正交补空间。
• Cuntz 代数 $\mathcal{O}_N$ 的基本关系——特别是 $\sum_{i=1}^N S_i S_i^* = I$ 和 $S_i^* S_j = \delta_{ij}I$——编码了小波理论中的缩放与正交性条件。
• 通过多分辨率框架构造或正交小波基，等价于从 $\mathcal{O}_N$-表示中的循环向量构造此类基。
• 本文通过表明所有关键的小波操作均编码于 $\mathcal{O}_N$-关系中，为小波理论提供了完整的代数框架。