[论文解读] A connection with skew symmetric torsion and Kähler curvature tensor on quasi-Kähler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 9

一句话总结

本文研究了具有 Norden 度量的准凯勒流形上具有斜对称挠率的自然联络，推导出其曲率张量为凯勒型的充要条件。主要贡献在于通过数量曲率恒等式表征了各向同性凯勒流形，表明该联络的曲率是凯勒型的充分必要条件是导出张量 $ H $ 为凯勒型，并建立了勒维-奇维塔联络与修正联络之间数量曲率的显式关系，包括恒等式 $\tau' + 3\tau'^* = \tau + 3\tau^*$。

ABSTRACT

There is considered a connection with skew symmetric torsion on a quasi-Kähler manifold with Norden metric. Some necessary and sufficient conditions are derived for the corresponding curvature tensor to be Kählerian. In the case when this tensor is Kählerian, some relations are obtained between its scalar curvature and the scalar curvature of other curvature tensors. Conditions are given for the considered manifolds to be isotropic-Kähler.

研究动机与目标

• 分析具有 Norden 度量的准凯勒流形上具有斜对称挠率的自然联络。
• 确定该联络曲率张量为凯勒型的充分必要条件。
• 推导勒维-奇维塔联络、修正联络及辅助曲率型张量之间数量曲率的显式关系。
• 通过涉及修正联络曲率的数量曲率恒等式，表征各向同性凯勒流形。

提出的方法

• 在 $\mathcal{W}_3$-流形（即具有 Norden 度量的准凯勒流形）上引入一个具有斜对称挠率的自然联络 $\nabla'$，其定义为 $\nabla'_x y = \nabla_x y + Q(x,y)$，其中 $Q$ 由 $\nabla J$ 构造而成。
• 定义挠率张量 $T(x,y) = 2Q(x,y)$，并以 Nijenhuis 张量 $F$ 表示 $Q(y,z,w)$，即 $Q(y,z,w) = -\frac{1}{4}\mathfrak{S}_{y,z,w} F(y,z,Jw)$。
• 推导联络 $\nabla'$ 的曲率张量 $R'$，并利用条件 $R'(x,y,Jz,Jw) = -R'(x,y,z,w)$ 分析其凯勒性质。
• 通过 $H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + R(Jx,Jy,z,w) + R(x,y,Jz,Jw) + R(Jx,Jy,Jz,Jw)$ 引入一个辅助张量 $H$，并证明 $R'$ 为凯勒型当且仅当 $H$ 为凯勒型。
• 计算数量曲率 $\tau$、$\tau^*$、$\tau'$、$\tau'^*$、$\tau(P)$、$\tau^*(P)$ 和 $\tau(H)$，并推导出如 $\tau' = \tau + \frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$ 等恒等式。
• 在四维情形下，将 $R$ 用投影张量 $\pi_1$、$\pi_2$、$\pi_3$ 和张量 $P$ 表示，从而得到包含 $\tau$、$\tau^*$ 和 $\tau(H)$ 的曲率分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 Norden 度量的准凯勒流形上，具有斜对称挠率的联络的曲率张量在何种条件下为凯勒型？
• RQ2 勒维-奇维塔联络、修正联络 $\nabla'$ 以及辅助曲率型张量的数量曲率之间存在何种关系？
• RQ3 曲率张量 $R'$ 的凯勒性质与通过黎曼曲率张量 $R$ 定义的张量 $H$ 之间的确切关系为何？
• RQ4 何时一个 $\mathcal{W}_3$-流形为各向同性凯勒型？该条件如何反映在数量曲率恒等式中？
• RQ5 当 $R'$ 为凯勒型时，四维情形下曲率张量 $R$ 如何分解？

主要发现

• 修正联络 $\nabla'$ 的曲率张量 $R'$ 为凯勒型当且仅当由 $H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + R(Jx,Jy,z,w) + R(x,y,Jz,Jw) + R(Jx,Jy,Jz,Jw)$ 定义的张量 $H$ 为凯勒型。
• 修正联络的数量曲率满足 $\tau' = \tau + \frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$，其中 $\|\nabla J\|^2$ 为 $\nabla J$ 的平方范数。
• 关联数量曲率满足 $\tau'^* = \tau^* - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$，且恒等式 $\tau' + 3\tau'^* = \tau + 3\tau^*$ 成立。
• 辅助张量 $P$ 的数量曲率为 $\tau(P) = \frac{9}{8}\|\nabla J\|^2$，且 $\tau^*(P) = -\frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$，其中 $\|\nabla J\|^2$ 为 $\nabla J$ 的平方范数。
• 张量 $H$ 的数量曲率与关联数量曲率相等：$\tau(H) = \tau^*(H) = 2\|\nabla J\|^2$，且恒等式 $\tau' = \tau + \frac{3}{16}\tau(H)$ 与 $\tau'^* = \tau^* - \frac{1}{16}\tau(H)$ 成立。
• 在四维情形下，曲率张量分解为 $R = \frac{1}{128}\left\{(16\tau + \tau(H))(\pi_1 - \pi_2) + (16\tau^* - \tau(H))\pi_3\right\} - \frac{1}{3}P$，提供了完整的曲率分解。