[论文解读] A continuum of incomplete intermediate logics

Tadeusz Litak|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 6

一句话总结

本文通过推广 Shehtman 的方法，利用受 Fine 和 Jankov 启发的框架序列，构建了一类 Kripke 不完备的中间逻辑连续统。证明了自然数的不同子集通过特征 Jankov 公式生成不同的、不完备的中间逻辑，从而填补了中间逻辑完备性研究领域长期存在的空白。

ABSTRACT

This paper generalizes the 1977 paper of V.B. Shehtman, which constructed the first Kripke incomplete intermediate logic, by presenting a continuum of such logics. This version fixes an error in my simplified proof of incompleteness of Shehtman's original logic.

研究动机与目标

• 通过证明存在连续统的 Kripke 不完备中间命题逻辑，填补文献中长期存在的空白。
• 将 Shehtman 于 1977 年构造的单个不完备中间逻辑推广为完整的连续统。
• 证明自然数的不同子集可生成不同的中间逻辑，且所有逻辑均不完备。
• 表明这些逻辑的不完备性源于其框架所定义的某些推理规则不可采纳。
• 阐明关系语义在中间逻辑中相对于模态逻辑的局限性，突出关键结果在超直觉逻辑中缺乏对应物。

提出的方法

• 为每个 $ n \in \omega $ 构造一系列 Kripke 框架 $\mathcal{F}_n$，其结构类似于 Fine 和 Jankov 所用的框架，且复杂度随 $ n $ 增加。
• 使用特征 Jankov 公式 $\beta^\#(\mathcal{F}_m, \bot)$ 基于 $\omega$ 的子集定义逻辑，确保逻辑之间的差异性。
• 采用 p-满同态不可约性论证：对 $ n \neq m $，不存在从 $\mathcal{F}_n$ 的任意生成子框架到 $\mathcal{F}_m$ 的 p-满同态，也不存在从 Fine 框架到任意 $\mathcal{F}_n$ 的 p-满同态。
• 应用 Shehtman 定理，将模态伴随之不完备性与中间逻辑的不完备性联系起来：当且仅当其模态伴随之 $\tau L$ 不完备时，$L$ 不完备。
• 验证所有框架 $\mathcal{F}_n$ 均满足 Shehtman 的公理 $\delta$、$\kappa$ 和 $bb_2$，确保所定义的逻辑为良定义的中间扩展。
• 利用 Fine 框架满足 $\delta$、$\kappa$ 和 $bb_2$，但拒绝 $\epsilon$ 的事实，确立关键推理规则的不可采纳性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管先前文献中缺乏此类结果，是否可以构建一个 Kripke 不完备中间逻辑的连续统？
• RQ2 当通过特定框架序列的 Jankov 公式扩展时，$\omega$ 的不同子集是否生成不同的中间逻辑？
• RQ3 是否可通过 p-满同态不可约性与不可采纳推理规则，确保这些逻辑的不完备性？
• RQ4 为何标准的模态逻辑技术（如 p-满同态、框架约化）在中间逻辑设定中无法建立完备性？
• RQ5 Fine 和 Jankov 在模态逻辑中的结果在中间逻辑领域中在多大程度上具有类比？

主要发现

• 存在一个 Kripke 不完备中间逻辑的连续统，其通过 $\omega$ 的不同子集索引框架序列 $\mathcal{F}_n$ 的 Jankov 公式构造而成。
• 对每个 $ n \in \omega $，由 $\delta$、$\kappa$、$bb_2$ 和 $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$ 定义的逻辑 $L_n$ 由于推理规则不可采纳而不完备。
• 对 $ n \neq m $，不存在从 $\mathcal{F}_n$ 的任意生成子框架到 $\mathcal{F}_m$ 的 p-满同态，从而确保了逻辑之间的差异性。
• 不存在从 Fine 框架的任意生成子框架到任意 $\mathcal{F}_n$ 的 p-满同态，这意味着 $\mathcal{F}_n$ 的 Jankov 公式在 Fine 框架中不成立。
• 这些逻辑两两不同，因为每个 $\mathcal{F}_n$ 满足其自身的 Jankov 公式 $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$，但不满足序列中其他框架的 Jankov 公式。
• 主要结果（定理 11）具有鲁棒性，尽管早期版本中存在证明缺陷，该缺陷已被 Guillaume Massas 独立修正，而连续统不完备逻辑的核心主张依然成立。