[论文解读] A convergent linear finite element scheme for the Maxwell-Landau-Lifshitz-Gilbert equation

Ľubomír Baňas, Marcus Page+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了两种无条件收敛的线性有限元格式，用于求解麦克斯韦-朗道-利夫希茨-吉尔伯特系统，每时间步最多求解两个线性系统。算法在保持对有效场在较弱假设下收敛到弱解的同时，实现了磁化强度与场演化之间的解耦。

ABSTRACT

We consider a lowest-order finite element discretization of the nonlinear system of Maxwell's and Landau-Lifshitz-Gilbert equations (MLLG). Two algorithms are proposed to numerically solve this problem, both of which only require the solution of at most two linear systems per timestep. One of the algorithms is fully decoupled in the sense that each timestep consists of the sequential computation of the magnetization and afterwards the magnetic and electric field. Under some mild assumptions on the effective field, we show that both algorithms converge towards weak solutions of the MLLG system. Numerical experiments for a micromagnetic benchmark problem demonstrate the performance of the proposed algorithms.

研究动机与目标

• 为耦合的麦克斯韦-朗道-利夫希茨-吉尔伯特系统开发一种数值高效且无条件收敛的时间推进格式。
• 将现有的朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程线性积分格式扩展至包含完整的时变麦克斯韦系统，而不仅限于磁静近似。
• 确保收敛性，且每时间步无需求解非线性系统，从而避免隐式中点法或定点法中常见的时间步长与网格尺寸耦合问题。
• 在收敛性分析中严格包含解耦求解策略（先求解磁化强度，再求解场），确保稳定性和精度。
• 通过最小化非线性迭代次数，实现更大的时间步长，同时保持无条件收敛性，从而支持实际模拟。

提出的方法

• 提出两种算法：算法2每时间步仅求解一个线性系统（完全解耦），而算法3每时间步求解两个线性系统。
• 采用最低阶有限元空间离散化，磁化强度使用节点型拉格朗日元，电磁场使用Nédélec元。
• 对麦克斯韦-LLG系统采用类似克兰克-尼科尔森的时间离散格式，基于中点法则对磁化强度演化进行线性化。
• 在变分形式中通过拉格朗日乘子施加磁化强度单位长度约束，确保磁化强度始终位于单位球面上。
• 使用直接求解器（用于磁化强度）和多重网格预处理的乌扎算法（用于电磁场）求解所得线性系统。
• 在时间推进中引入预测-校正策略以提高精度与稳定性，算法3中对场更新采用定点迭代。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为完整的麦克斯韦-LLG系统构造一种线性有限元格式，使得每时间步无需求解非线性系统？
• RQ2 是否完全解耦的算法（先求解磁化强度，再求解电磁场）仍能保证无条件收敛到弱解？
• RQ3 能否将收敛性分析严格推广至包含完整麦克斯韦系统产生的时变有效场，而不仅限于静态或简化模型？
• RQ4 与隐式中点法等成熟非线性格式相比，所提线性格式在精度与计算成本方面表现如何？
• RQ5 所提格式能否在保持收敛性与稳定性的同时，处理一般的有效场贡献，包括非线性和多尺度项？

主要发现

• 在对有效场施加较弱假设的条件下，两种所提算法均能实现对麦克斯韦-LLG系统弱解的无条件收敛。
• 算法2每时间步仅需求解一个线性系统，且完全解耦，先求解磁化强度，再求解电磁场。
• 算法3每时间步求解两个线性系统，保持收敛性，同时通过迭代校正实现更精确的场更新。
• 数值实验表明，即使采用比中点法所需更大的时间步长（k=0.05），其在模拟磁化强度动力学方面与中点法（作为基准非线性方法）结果高度一致。
• 该方法对场近似误差（如去磁化场计算不精确）具有鲁棒性，且此类误差可被纳入收敛性分析。
• 该方法可在不损失稳定性或收敛性的情况下支持更大的时间步长（最高达k=1），而依赖定点迭代或显式时间推进的格式则不具备此特性。