[论文解读] A converse to Lieb-Robinson bounds in one dimension using index theory

Daniel Ranard, Michael Walter+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Quantum-Dot Cellular Automata被引用 5

一句话总结

该论文通过将原本为严格保局域性酉变换（量子细胞自动机，QCAs）而开发的 GNVW 指数理论扩展至近似保局域性酉变换（ALPUs），在一维量子格点系统中建立了对 Lieb-Robinson 界的逆定理。证明了任意指数为零的 ALPU 均可由一个时间依赖的、准局域的哈密顿量在常数时间内精确生成，从而弥合了一维系统中近似与精确局域性之间的鸿沟。

ABSTRACT

Unitary dynamics with a strict causal cone (or "light cone") have been studied extensively, under the name of quantum cellular automata (QCAs). In particular, QCAs in one dimension have been completely classified by an index theory. Physical systems often exhibit only approximate causal cones; Hamiltonian evolutions on the lattice satisfy Lieb-Robinson bounds rather than strict locality. This motivates us to study approximately locality preserving unitaries (ALPUs). We show that the index theory is robust and completely extends to one-dimensional ALPUs. As a consequence, we achieve a converse to the Lieb-Robinson bounds: any ALPU of index zero can be exactly generated by some time-dependent, quasi-local Hamiltonian in constant time. For the special case of finite chains with open boundaries, any unitary satisfying the Lieb-Robinson bound may be generated by such a Hamiltonian. We also discuss some results on the stability of operator algebras which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 将一维量子细胞自动机（QCAs）的拓扑指数理论扩展至近似保局域性酉变换（ALPUs），以建模具有近似因果锥的现实哈密顿量动力学。
• 解决一个基本问题：是否可由局域哈密顿量精确生成类似 Lieb-Robinson 的动力学——其特征为近似有限速度的信息传播。
• 确定 GNVW 指数在小扰动下的鲁棒性，特别是在具有 $o(1/r)$ 或 $o(1)$ 相互作用衰减的 ALPUs 背景下。
• 建立 Lieb-Robinson 界的逆定理：证明指数为零的 ALPUs 可通过准局域哈密顿量在常数时间内精确实现。
• 分析在近似嵌入下算子代数及其包含关系的稳定性，应用于 Lieb-Robinson 界及有限链上的动力学。

提出的方法

• 通过证明指数在小扰动下具有鲁棒性，将 QCAs 的 GNVW 指数理论适配至 ALPUs，采用算子代数技术和近包含理论。
• 使用换位子引理（引理 3.3）证明：若单位点算符满足 Lieb-Robinson 类型界，则任意有限集上的算符亦满足此类界。
• 利用同时近包含引理（引理 B.3）控制在交换子代数的近似嵌入下共轭代数和双共轭代数的稳定性。
• 应用性质 P 和弱算子拓扑技术，构造保持扰动下指数不变的近似酉共轭。
• 通过 QCA 构造 ALPU 的有限深度电路近似，借助极限过程为 ALPUs 定义连续指数。
• 利用如下事实：在具有开放边界的一维有限链上，任意满足 Lieb-Robinson 界的 ALPU 均可由时间依赖的、准局域哈密顿量精确生成，其关键在于指数为零的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维 QCAs 的拓扑指数理论能否扩展至具有近似因果锥的近似保局域性酉变换（ALPUs）？
• RQ2 GNVW 指数在小扰动下是否鲁棒，例如来自具有 $o(1/r)$ 或 $o(1)$ 衰减的准局域哈密顿量的扰动？
• RQ3 任意指数为零的 ALPU 是否都可由时间依赖的、准局域哈密顿量在常数时间内精确生成——即是否构成对 Lieb-Robinson 界的逆定理？
• RQ4 Lieb-Robinson 界与算子代数在近似包含下的稳定性之间存在何种关系？
• RQ5 满足 Lieb-Robinson 界的有限链（开放边界）的动力学是否可由局域哈密顿量精确实现？

主要发现

• GNVW 指数在小扰动下具有鲁棒性：任意具有 $o(1/r)$ 或 $o(1)$ 相互作用衰减的 ALPU 均继承一个明确定义的指数，从而将 QCA 分类推广至 ALPUs。
• 任意指数为零的 ALPU 均可由时间依赖的、准局域哈密顿量在常数时间内精确生成，提供了对 Lieb-Robinson 界的逆定理。
• 对于具有开放边界的有限链，任意满足 Lieb-Robinson 界的酉算符均可由准局域时间依赖哈密顿量精确实现。
• ALPU 的指数通过 QCA 近似定义，其值与近似序列的选择无关，确保了结果的一致性。
• 通过换位子引理和弱算子拓扑技术，建立了算子代数在近包含下的稳定性，其应用涵盖 Lieb-Robinson 界。
• 逆 Lieb-Robinson 界的证明依赖于对交换子代数的同步近包含，从而导出了双共轭代数关于总误差的上界。