[论文解读] A convolution formula for Tutte polynomials of arithmetic matroids and other combinatorial structures

Spencer Backman, Matthias Lenz|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文将 Kook–Reiner–Stanton 与 Etienne–Las Vergnas 的 Tutte 多项式卷积公式推广至带有重数的分等级集合，涵盖算术拟阵、δ-拟阵和多拟阵。核心贡献是一个统一的卷积公式，将算术 Tutte 多项式表示为子集上的求和，从而为伪算术拟阵的非负性提供了新证明，并给出了算术 Tutte 多项式在流量与着色方面的组合解释。

ABSTRACT

In this note we generalize the convolution formula for the Tutte polynomial of Kook-Reiner-Stanton and Etienne-Las Vergnas to a more general setting that includes both arithmetic matroids and delta-matroids. As corollaries, we obtain new proofs of two positivity results for pseudo-arithmetic matroids and a combinatorial interpretation of the arithmetic Tutte polynomial at infinitely many points in terms of arithmetic flows and colorings. We also exhibit connections with a decomposition of Dahmen-Micchelli spaces and lattice point counting in zonotopes.

研究动机与目标

• 将 Tutte 多项式卷积公式从拟阵推广至更广泛的组合结构类别。
• 统一并推广关于算术拟阵与 δ-拟阵的 Tutte 多项式已知结果。
• 通过流量与着色提供算术 Tutte 多项式的新组合解释。
• 建立 Tutte 多项式与平行多面体中格点计数及 Dahmen–Micchelli 空间之间的联系。
• 利用推广的卷积框架证明伪算术拟阵中某些不变量的非负性。

提出的方法

• 将带重数的分等级集合定义为配备秩函数与取值于交换环的重数函数的有限集合。
• 引入算术 Tutte 函数 $\mathfrak{M}_M(x,y)$ 与 Tutte 函数 $\mathfrak{T}_M(x,y)$，作为子集上的生成函数。
• 在带重数的分等级集合上定义限制与商运算，保持结构不变。
• 证明主要卷积公式：$\mathfrak{M}_M(x,y) = \sum_{A \subseteq M} \mathfrak{M}_{M|_A}(0,y) \mathfrak{T}_{M/A}(x,0)$，该公式对所有带重数的分等级集合成立。
• 通过特化与组合解释，将公式应用于推导关于非负性、流量、着色与平行多面体的新结果。
• 利用与 Dahmen–Micchelli 空间及 Ehrhart 理论的联系，在几何背景下解释算术 Tutte 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tutte 多项式卷积公式能否从拟阵推广至具有重数的更一般组合对象？
• RQ2 推广的卷积公式对算术拟阵与 δ-拟阵有何影响？
• RQ3 如何通过流量与着色在无穷多个点上组合解释算术 Tutte 多项式？
• RQ4 Tutte 多项式与平行多面体中格点计数之间存在何种联系？
• RQ5 该公式如何为伪算术拟阵的非负性结果提供新证明？

主要发现

• 推广的卷积公式 $\mathfrak{M}_M(x,y) = \sum_{A \subseteq M} \mathfrak{M}_{M|_A}(0,y) \mathfrak{T}_{M/A}(x,0)$ 对所有带重数的分等级集合（包括算术拟阵与 δ-拟阵）成立。
• 该公式通过将重数函数表示为非负项之和，为伪算术拟阵中重数函数的非负性提供了新证明。
• 算术 Tutte 多项式在 $ (2,1) $ 处的取值表示一个平行多面体中的整数格点数量，在 $ (0,1) $ 处的取值表示其相对内部格点数量。
• 平行多面体的顶点数等于 $ \mathfrak{T}_M(2,0) $，该值计数了相关中心超平面排列的区域数。
• 该公式建立了算术 Tutte 多项式与 Ehrhart 理论之间的联系，其中 $ \mathfrak{M}_X(1-p,1-q) $ 表达了一个包含 $ \chi^* $-多项式与 $ \chi $-多项式的生成函数。
• 卷积公式导致算术 Tutte 多项式在 $ (1,0) $ 处的新解释：其值为所有 $ p \in \mathcal{V}(X) $ 的限制 $ X_p $ 的 Tutte 多项式之和。