[论文解读] A coupled boundary element / finite element method for the convected Helmholtz equation with non-uniform flow in a bounded domain

Fabien Casenave, Alexandre Ern+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对非均匀速度分布的亚音速流中传播亥姆霍兹方程的边界元法与有限元法（BEM-FEM）新耦合方法。通过在整个流场域应用普朗特-格劳厄特变换，将问题重新表述为外部的经典亥姆霍兹方程和内部具有反对称扰动的各向异性PDE，从而实现自然的传输条件，并可通过标准求解器高效求解，提出了两种公式——一种易受共振影响，另一种避免共振。

ABSTRACT

We consider the convected Helmholtz equation modeling linear acoustic propagation at a fixed frequency in a subsonic flow around a scattering object. The flow is supposed to be uniform in the exterior domain far from the object, and potential in the interior domain close to the object. Our key idea is the reformulation of the original problem using the Prandtl--Glauert transformation on the whole flow domain, yielding (i) the classical Helmholtz equation in the exterior domain and (ii) an anisotropic diffusive PDE with skew-symmetric first-order perturbation in the interior domain such that its transmission condition at the coupling boundary naturally fits the Neumann condition from the classical Helmholtz equation. Then, efficient off-the-shelf tools can be used to perform the BEM-FEM coupling, leading to two novel variational formulations for the convected Helmholtz equation. The first formulation involves one surface unknown and can be affected by resonant frequencies, while the second formulation avoids resonant frequencies and involves two surface unknowns. Numerical simulations are presented to compare the two formulations.

研究动机与目标

• 解决在具有非均匀亚音速流的有界域中，绕散射体的传播亥姆霍兹方程求解难题。
• 克服在非均匀流动（尤其是散射体附近）中边界元法与有限元法耦合时的困难。
• 提出一种变分公式，确保流场区域界面处的自然传输条件。
• 通过将问题转化为更易处理的形式，使标准商用BEM和FEM求解器得以有效使用。

提出的方法

• 在整个流场域应用普朗特-格劳厄特变换，将传播亥姆霍兹方程映射为变换后的系统。
• 推导出一个变换后的系统，其中外部区域满足经典亥姆霍兹方程，而内部区域满足具有反对称一阶项的各向异性扩散型PDE。
• 确保内部-外部界面处的传输条件自然匹配经典亥姆霍兹方程的诺伊曼条件。
• 提出两种变分方法：一种仅使用一个表面未知量（易引发共振），另一种使用两个表面未知量（无共振）。
• 对外部区域使用标准BEM，对内部区域使用标准FEM，由于问题结构的重新表述，可借助现有求解器。
• 实施数值模拟，以比较两种公式的性能与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 普朗特-格劳厄特变换能否全局应用于将传播亥姆霍兹方程解耦为标准亥姆霍兹方程与各向异性PDE分量？
• RQ2 所得的耦合公式是否能实现内部与外部区域之间的自然传输条件？
• RQ3 在该变换框架下，能否有效使用标准BEM与FEM求解器？
• RQ4 在稳定性与共振行为方面，所提出的两种公式——单表面未知量与双表面未知量——有何差异？
• RQ5 在非均匀亚音速流中建模声散射时，这些公式的数值性能如何？

主要发现

• 普朗特-格劳厄特变换成功地将传播亥姆霍兹方程解耦为外部的经典亥姆霍兹方程和内部具有反对称扰动的各向异性PDE。
• 界面处的传输条件自然与亥姆霍兹方程的诺伊曼条件对齐，实现了无缝耦合。
• 第一种公式（使用一个表面未知量）由于积分方程公式的特性，易受共振频率影响。
• 第二种公式（引入双追踪结构的两个表面未知量）通过稳定系统避免了共振问题。
• 数值模拟结果表明，两种公式均能获得精确解，但无共振公式在频率扫描中表现出更高的鲁棒性。
• 由于问题结构的重新表述，使用标准BEM与FEM求解器是可行且高效的，从而实现了高效的实现。