[论文解读] A Delayed Black and Scholes Formula I

Mercedes Arriojas, Yaozhong Hu+2 more|ArXiv.org|Apr 28, 2006

Stochastic processes and financial applications被引用 16

一句话总结

本文通过使用随机泛函微分方程（sfde）建模股票价格动态，引入时间延迟以纳入历史股价，发展了布莱克-斯科尔斯模型的延迟扩展。关键贡献是在该延迟模型下，为欧式看涨期权推导出一个显式闭式期权定价公式，该公式保持市场完备性和无套利性，且期权价格取决于当前股价及其在延迟区间内的历史路径。

ABSTRACT

In this article we develop an explicit formula for pricing European options when the underlying stock price follows a non-linear stochastic differential delay equation (sdde). We believe that the proposed model is sufficiently flexible to fit real market data, and is yet simple enough to allow for a closed-form representation of the option price. Furthermore, the model maintains the no-arbitrage property and the completeness of the market. The derivation of the option-pricing formula is based on an equivalent martingale measure.

研究动机与目标

• 开发一个灵活且解析可处理的股价动态模型，通过时间延迟引入记忆效应。
• 通过允许波动率依赖于历史股价，解决经典布莱克-斯科尔斯模型的局限性，特别是其假设波动率恒定的问题。
• 在延迟模型下，为欧式看涨期权定价推导出显式闭式公式，同时保持市场完备性和无套利性。
• 通过使用等价鞅测度和随机分析技术，保持解析可处理性。

提出的方法

• 使用随机延迟微分方程（sdde）建模股价 S(t)，其中漂移和扩散系数依赖于延迟值 S(t−a) 和 S(t−b)。
• 在初始过程 φ(0) > 0 几乎必然的条件下，建立解 S(t) 的路径唯一性与正性。
• 应用Girsanov定理，构造一个等价鞅测度 Q，使得贴现后股价成为局部鞅。
• 通过Q下的条件期望表示期权价格，即贴现收益 (S(T)−K)+ 的期望，利用延迟过程的马氏结构。
• 利用等价测度下股价过程的显式形式，将期权价格表示为标准正态累积分布函数 Φ 的函数。
• 在最终延迟区间内推导出期权价格的时间依赖随机布莱克-斯科尔斯PDE，表明仅当 t ≥ T−b 时，V(t) = e^{-r(T−t)}F(t,S(t)) 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个延迟随机股价动态模型，使其在更好地拟合经验波动率模式的同时保持解析可处理性？
• RQ2 将历史股价纳入漂移和扩散系数后，与经典布莱克-斯科尔斯模型相比，期权定价公式有何变化？
• RQ3 在保持市场完备性和无套利性的延迟股价模型下，欧式看涨期权价格的显式形式是什么？
• RQ4 期权价格如何依赖于股价的历史路径，特别是在最终延迟区间内？
• RQ5 期权定价公式能否表示为具有随机系数的时间依赖PDE？该表示在何种条件下有效？

主要发现

• 当初始值 φ(0) > 0 几乎必然时，所提出的延迟模型对所有 t ≥ 0 均存在路径唯一的正解 S(t)。
• 当 t ∈ [T−l, T] 时，期权价格 V(t) 由闭式公式给出：V(t) = S(t)Φ(β₊) − Ke^{−r(T−t)}Φ(β₋)，其中 β₊ 和 β₋ 依赖于 g²(S(u−b)) 在 [t,T] 上的积分。
• 当 g(x) ≡ 1 时，该公式精确退化为经典布莱克-斯科尔斯公式，确认与标准模型的一致性。
• 期权价格不仅依赖于当前股价 S(t)，还依赖于整个历史路径 {S(v) : v ∈ [t−b, T−b]}，当 t ≥ T−l 时成立。
• 在最终延迟区间 [T−l, T] 内，期权价格满足如下随机PDE：∂F/∂t = −½g²(S(t−b))x²∂²F/∂x² − rx∂F/∂x + rF，终端条件为 F(T,x) = (x−K)+。
• 当 t < T−l 时，由于解 F 相对于滤子 (F_t) 具有预测性，表示式 V(t) = e^{−r(T−t)}F(t,S(t)) 不再成立。