[论文解读] A Direct Approach to Noncrossed Product Division Algebras

Timo Hanke|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过在具有自同构的中心单代数上迭代使用扭曲洛朗级数环，直接构造了非交叉积除法代数。通过扩展自同构并应用扭曲多项式构造，作者得到了一个指标为16、指数为8且不与任何交叉积同构的除法代数，从而在布饶尔群中给出了一个非交叉积的明确例子。

ABSTRACT

A valuation theoretic approach is presented that directly leads to division algebras that are noncrossed products (instead of, e.g., describing Brauer classes of noncrossed products in an abstract manner). While this feature is shared by Amitsur's original construction, the new approach works over small fields. It is further demonstrated how it can be used to obtain very explicit examples of noncrossed products in the form of iterated twisted function fields over division algebras over global fields. The examples allow even to write down structure constants of noncrossed products.

研究动机与目标

• 构造有限维中心除法代数的显式例子，这些代数不是交叉积，以解决除法代数理论中长期存在的问题。
• 将扭曲多项式与洛朗级数环的理论扩展至正特征域，以构建非交叉积。
• 证明即使布饶尔群由交叉积生成，也不是所有中心单代数都是交叉积。
• 提供一种直接、构造性的方法来生成非交叉积，避免依赖上同调障碍或存在性定理。
• 确立通过迭代扭曲洛 Laurent 级数构造的某些代数是具有指定指标和指数的除法代数。

提出的方法

• 在配备 $ k $-代数自同构 $ ilde{ au} $ 的中心除法代数 $ D $ 上构造扭曲洛 Laurent 级数环 $ D( egmedspace(x; ilde{ au}) egmedspace) $，使用扭曲乘法规则。
• 通过引入新的不定元 $ x_1, x_2, x_3 $ 及其自同构 $ ilde{ au}_1, ilde{ au}_2, ilde{ au}_3 $，迭代扩展构造，确保相容性与非交换性。
• 利用当 $ D $ 是除法代数且 $ ilde{ au} $ 是自同构时，$ D(x; ilde{ au}) $ 是除法环的事实，推广希尔伯特的构造。
• 在特征 $ p $ 下应用阿廷-施莱尔构造以建立 $ p $-扩张，并定义 $ p $-代数 $ [a,b) $，这些是次数为 $ p $ 的中心除法代数。
• 运用萨特曼关于 $ p $-代数的引理，证明若一个除法代数包含一个正规极大子域，则它必须包含一个伽罗瓦极大子域，从而在子域非伽罗瓦时导致矛盾。
• 使用自同构 $ ilde{ au}_3 $，使其对 $ ilde{ au}_1 $ 和 $ ilde{ au}_2 $ 的作用为逆，并满足 $ x_3 eta = -eta x_3 $（其中 $ eta = ilde{ au}_1(eta) $），以确保非交叉积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个有限维中心除法代数，使其同构于任何交叉积？
• RQ2 是否存在一个指标为16、指数为8的除法代数，且不是交叉积？
• RQ3 能否通过迭代扭曲洛 Laurent 级数环显式构造非交叉积？
• RQ4 当一个除法代数包含一个正规极大子域时，其必然包含一个伽罗瓦极大子域的条件是什么？
• RQ5 如何利用 $ p $-代数的结构在正特征下构造非交叉积？

主要发现

• 代数 $ A(x_3; \tilde{\tau}_3) = D'(x_1,x_2; \tilde{\tau}'_1,\tilde{\tau}'_2; u')(x_3; \tilde{\tau}_3) $ 是一个指标为16、指数为8的除法代数。
• 该代数不与任何交叉积同构，因为它不包含在中心上为伽罗瓦扩张的严格极大子域。
• 该构造在特征不为2或3的域上产生了一个非交叉积除法代数，具有显式的生成元与关系。
• 自同构 $ \tilde{\tau}_3 $ 对 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 的作用非平凡，并满足 $ x_3 \beta = -\beta x_3 $（其中 $ \beta = \tilde{\tau}_1(\beta) $），从而确保非交叉积行为。
• 证明依赖于萨特曼引理，表明若一个除法代数包含一个正规极大子域，则它必须包含一个伽罗瓦子域，除非该扩张本身已是伽罗瓦扩张，否则将导致矛盾。
• 通过扭曲洛 Laurent 级数的结构以及自同构对不定元和基代数的非平凡作用，最终证明该代数是一个除法环。