[论文解读] A direct product theorem for bounded-round public-coin randomized communication complexity

Rahul Jain, Attila Pereszlényi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用 10

一句话总结

本文建立了有界轮次公开随机化通信复杂度的强直接产品定理，证明当资源在 $k$ 上亚线性时，解决 $k$ 个关系实例所需的通信量是单个实例的 $\tilde{O}(k/t)$ 倍。该结果依赖于信息论技术、消息压缩和相关采样，将先前针对单向协议的工作扩展至一般 $t$-消息协议。

ABSTRACT

In this paper, we show a direct product theorm in the model of two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity. For a relation f subset of X times Y times Z (X,Y,Z are finite sets), let R^{(t), pub}_e (f) denote the two-party t-message public-coin communication complexity of f with worst case error e. We show that for any relation f and positive integer k: R^{(t), pub}_{1 - 2^{-Omega(k/t^2)}}(f^k) = Omega(k/t (R^{(t), pub}_{1/3}(f) - O(t^2))) . In particular, it implies a strong direct product theorem for the two-party constant-message public-coin randomized communication complexity of all relations f. Our result for example implies a strong direct product theorem for the pointer chasing problem. This problem has been well studied for understanding round v/s communication trade-offs in both classical and quantum communication protocols. We show our result using information theoretic arguments. Our arguments and techniques build on the ones used in [Jain 2011], where a strong direct product theorem for the two-party one-way public-coin communication complexity of all relations is shown (that is the special case of our result when t=1). One key tool used in our work and also in [Jain 2011] is a message compression technique due to [Braverman and Rao 2011], who used it to show a direct sum theorem for the two-party bounded-round public-coin randomized communication complexity of all relations. Another important tool that we use is a correlated sampling protocol, which for example, has been used in [Holenstein 2007] for proving a parallel repetition theorem for two-prover games.

研究动机与目标

• 在有界轮次公开随机化通信复杂度模型中建立强直接产品定理。
• 证明当资源在 $k$ 上亚线性时，解决 $k$ 个独立关系实例所需的通信量为单个实例的 $\Omega(k/t)$ 倍。
• 使用信息论工具将先前针对单向协议的直接产品定理扩展至一般 $t$-消息协议。
• 解决关于指针追踪等协议中轮次与通信复杂度权衡的开放问题。

提出的方法

• 使用信息论论证，限制 $t$-消息协议中输入与消息之间的互信息。
• 应用 Braverman 和 Rao 提出的消息压缩技术，以减少通信量的方式模拟协议。
• 采用相关采样协议，模拟共享随机性，并在多实例设置中控制误差。
• 利用新颖的嵌入论证，将多实例协议的结构与单实例协议联系起来。
• 结合混合论证与误差分析，证明次优协议在 $k$ 个实例上以指数级小的成功概率失败。
• 整合这些工具，推导出 $f^k$ 的通信复杂度下界，以 $\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f)$ 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为 $t$-消息公开随机化通信协议（即使 $t > 1$）证明强直接产品定理？
• RQ2 当资源在 $k$ 上亚线性时，关系的 $k$ 个并行实例的通信复杂度是否与 $k$ 线性相关？
• RQ3 误差项中对 $t$ 的依赖能否优于 $O(t^2)$？
• RQ4 用于单向协议的技术能否扩展至一般有界轮次协议？
• RQ5 指针追踪问题在有界轮次公开随机化模型中是否满足强直接产品定理？

主要发现

• 本文证明了 $\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1-2^{-\Omega(k/t^{2})}}(f^{k}) = \Omega\left(\frac{k}{t} \cdot \left(\mathrm{R}^{(t),\mathrm{pub}}_{1/3}(f) - \mathcal{O}(t^{2})\right)\right)$，建立了强直接产品定理。
• 该结果意味着，若以少于 $k/t$ 倍单个实例通信量解决 $k$ 个实例，成功概率将随 $k$ 指数级减小。
• 直接产品定理中的误差参数依赖于 $k/t^2$，显示出实例数量与允许误差之间的权衡。
• 指针追踪问题在有界轮次公开随机化模型下满足强直接产品定理。
• 该证明技术通过使用消息压缩和相关采样，将 Jain 的单向结果推广至多轮协议。
• 分析表明，任何通信量次优的协议即使每实例误差恒定，也无法以高概率正确计算所有 $k$ 个实例。