[论文解读] A Directional Lipschitz Extension Lemma, with Applications to Uniqueness and Lagrangianity for the Continuity Equation

Laura Caravenna, Gianluca Crippa|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文提出了一种类方向Lipschitz延拓引理，该引理同时保持了连续向量场的积分曲线沿欧氏距离与测地距离的Lipschitz连续性。通过应用该引理，作者在最小可积性假设下建立了连续性方程弱解的唯一性与拉格朗日结构——具体而言，对于属于$W^{1,p}$且$p > n$的向量场，且几乎处处具有平凡的前向-后向积分曲线，即使解仅为局部可积，也无需依赖DiPerna-Lions理论中的高阶可积性条件。

ABSTRACT

We prove a Lipschitz extension lemma in which the extension procedure simultaneously preserves the Lipschitz continuity for two non-equivalent distances. The two distances under consideration are the Euclidean distance and, roughly speaking, the geodesic distance along integral curves of a (possibly multi-valued) flow of a continuous vector field. The Lipschitz constant for the geodesic distance of the extension can be estimated in terms of the Lipschitz constant for the geodesic distance of the original function. This Lipschitz extension lemma allows us to remove the high integrability assumption on the solution needed for the uniqueness within the DiPerna-Lions theory of continuity equations in the case of vector fields in the Sobolev space $W^{1,p}$, where $p$ is larger than the space dimension, under the assumption that the so-called "forward-backward integral curves" associated to the vector field are trivial for almost every starting point. More precisely, for such vector fields we prove uniqueness and Lagrangianity for weak solutions of the continuity equation that are just locally integrable.

研究动机与目标

• 消除DiPerna-Lions理论中为保证唯一性与拉格朗日结构而对解施加的高阶可积性假设。
• 在向量场属于$W^{1,p}$且$p > n$，且前向-后向积分曲线几乎处处平凡的条件下，建立连续性方程弱解的唯一性与拉格朗日性。
• 在相同条件下证明标准积分曲线的几乎处处唯一性，从而推出具有绝对连续初始数据的正测度解的唯一性。
• 提供一种新的分析工具——方向性Lipschitz延拓，用于控制积分曲线上测地距离的连续性。

提出的方法

• 构建一个方向性Lipschitz延拓引理，使得连续向量场的积分曲线上，欧氏距离与测地距离的Lipschitz连续性均得以保持。
• 利用该引理控制弱解在积分曲线上的行为，特别是在连续性方程的背景下。
• 应用正规拉格朗日流理论与极大函数估计，验证延拓过程中关键的可积性条件。
• 证明延拓的测地Lipschitz常数受原函数测地Lipschitz常数的有界控制。
• 在证明中通过流上的变量替换与极大函数估计，控制$|Db|^{\tilde{p}}$的$L^p$-范数。
• 利用叠加原理与流的近似不可压缩性，将测度解与连续性方程联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量场属于$W^{1,p}$且$p > n$时，是否可以在不假设解属于$L^\infty([0,T]; L^q)$可积性的前提下，建立连续性方程弱解的唯一性与拉格朗日结构？
• RQ2 在何种向量场条件下，可以消除DiPerna-Lions理论中的高阶可积性假设？
• RQ3 对于满足$p > n$的$W^{1,p}$向量场且前向-后向积分曲线几乎处处平凡，是否可以证明积分曲线的几乎处处唯一性？
• RQ4 能否构造一个方向性Lipschitz延拓引理，使其同时控制积分曲线上欧氏距离与测地距离的连续性？
• RQ5 前向-后向积分曲线的平凡性在确保解的唯一性与拉格朗日性方面起什么作用？

主要发现

• 对于属于$L^1([0,T]; W^{1,p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n))$且$p > n$的向量场，若前向-后向积分曲线几乎处处平凡，则即使解仅为局部可积，连续性方程的弱解仍具有唯一性与拉格朗日结构。
• 方向性Lipschitz延拓引理使得能够控制积分曲线上测地距离的连续性，从而消除了DiPerna-Lions理论中对$L^\infty([0,T]; L^q)$可积性的假设。
• 证明了标准积分曲线的几乎处处唯一性，从而推出具有绝对连续初始数据的正测度解的唯一性。
• 证明依赖于极大函数估计与正规拉格朗日流上的变量替换，表明相关换位子项在极限下趋于零。
• 该结果在标准假设(1.4b)与(1.4c)，以及可压缩性条件(1.6)下成立，即使不假设散度有界亦成立。
• 推论5.4表明，在相同条件下，连续性方程的柯西问题存在唯一的正测度解，且与$L^1_{\text{loc}}$解一致。