[论文解读] A discontinuous Galerkin method for strain gradient-dependent damage: Study of interpolations, convergence and two dimensional problems

Luisa Molari, Wells, G. N.+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2004

Numerical methods in engineering参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出一种用于应变梯度相关损伤模型的不连续伽辽金（DG）方法，可使用C⁰连续插值函数，从而避免对C¹单元的需求，简化实现并降低计算成本。该方法展现出最优收敛率，对多项式阶次具有鲁棒性，并成功应用于二维问题，有效消除了软化损伤模拟中的网格依赖性。

ABSTRACT

A discontinuous Galerkin method has been developed for strain gradient-dependent damage. The strength of this method lies in the fact that it allows the use of $C^0$ interpolation functions for continuum theories involving higher-order derivatives, while in a conventional framework at least $C^1$ interpolations are required. The discontinuous Galerkin formulation thereby offers significant potential for engineering computations with strain gradient-dependent models. When using basis functions with a low degree of continuity, jump conditions arise at element edges which are incorporated in the weak form. In addition to the formulation itself, a detailed study of the convergence properties of the method for various element types is presented, an error analysis is undertaken, and the method is also shown to work in two dimensions.

研究动机与目标

• 通过应变梯度项的正则化，解决应变软化损伤模型中的网格依赖性问题。
• 克服应变梯度模型中高阶偏微分方程所要求的C¹连续有限元带来的计算负担。
• 为位移场和应变类场开发一种数值稳定且高效的有限元格式，采用C⁰或不连续插值。
• 在不同单元类型和多项式阶次下，验证DG格式在一维和二维问题中的收敛性与鲁棒性。
• 通过基准问题验证该方法，包括三点弯曲试验，表明梯度正则化下可实现网格无关的损伤局域化。

提出的方法

• 构建一种不连续伽辽金弱形式，通过单元界面的跃变项处理高阶导数的不连续性。
• 对位移使用C⁰连续形函数，对额外的应变类自由度引入，实现跨单元的不连续插值。
• 在弱形式中引入罚项，以弱形式强制非标准边界条件，特别是针对梯度相关项。
• 将该方法应用于应变梯度损伤模型，其中损伤演化通过长度尺度参数（c）正则化，控制局域化宽度。
• 为弱形式实现一致的线性化方案，以支持非线性系统的牛顿-拉夫森求解。
• 为简化线性化，采用等效应变（应变张量的迹）的一致定义，尽管该定义在物理上无明确依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 采用C⁰插值的不连续伽辽金格式能否有效求解传统上需要C¹连续性的应变梯度相关损伤问题？
• RQ2 在应变梯度损伤问题中，DG方法对不同单元类型和多项式阶次在一维情况下的收敛行为如何？
• RQ3 该方法在二维问题中的表现如何，特别是在捕捉网格无关的损伤局域化方面？
• RQ4 通过参数c引入的梯度正则化在多大程度上消除了软化损伤模拟中的网格依赖性？
• RQ5 在三点弯曲试验中，考虑与不考虑梯度效应时，粗网格与细网格的数值结果如何比较？

主要发现

• 对于弹性情况，DG方法实现了与理论预测一致的最优收敛率，经由分析与数值研究共同验证。
• 对于损伤问题，该方法表现出鲁棒的收敛行为，尽管尚未正式建立理论收敛率。
• 采用不同单元类型（如P²/P¹、P¹/P⁰）计算的损伤分布几乎完全一致，表明对单元选择不敏感，且格式具有鲁棒性。
• 在三点弯曲试验中，梯度相关情况（c ≠ 0）在粗网格与细网格下均产生网格无关的损伤分布与荷载-位移响应。
• 相比之下，非梯度情况（c = 0）表现出明显的网格依赖性，细网格下出现虚假的二次裂纹，但由于裂纹模式竞争，荷载-位移响应仍相近。
• 该方法通过罚项成功处理了非标准边界条件，当采用二次位移插值时，非标准条件可按构造满足。