[论文解读] A Distributed Observer for a Continuous-Time Linear System with time-varying network

Lili Wang, Ji Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于时变网络中连续时间线性系统的分布式观测器，其中每个代理通过本地测量和邻居通信来估计全局状态。通过设计增益 $ g $，该方法即使在拓扑切换的情况下，也能确保估计误差以预设速率指数收敛至零，前提是网络保持强连通且系统具有联合可观测性。

ABSTRACT

A simply structured distributed observer is described for estimating the state of a continuous-time, jointly observable, input-free, linear system whose sensed outputs are distributed across a time-varying network. It is explained how to design a gain $g$ in the observer so that their state estimation errors all converge exponentially fast to zero at a fixed, but arbitrarily chosen rate provided the network's graph is strongly connected for all time. A linear inequality for $g$ is provided when the network's graph is switching according to a switching signal with a dwell time or an average dwell time, respectively. It has also been shown the existence of $g$ when the stochastic matrix of the network's graph is chosen to be doubly stochastic under arbitrarily switching signals. This is accomplished by exploiting several well-known properties of invariant subspaces and properties of perturbed systems.

研究动机与目标

• 解决通信网络拓扑时变时连续时间线性系统中分布式状态估计的挑战。
• 将现有固定拓扑的分布式观测器扩展至时变网络，同时保持估计误差的指数收敛性。
• 提供观测器增益 $ g $ 的显式条件，以保证在用户指定速率 $ \lambda $ 下实现指数收敛。
• 分析在具有停留时间或平均停留时间约束的切换网络拓扑下估计误差动态系统的稳定性。
• 建立在任意切换下仍可实现指数收敛的条件，前提是网络的随机矩阵为双随机矩阵。

提出的方法

• 设计一种分布式观测器，其中局部估计器为 $ \dot{x}_i = (A + K_i C_i)x_i - K_i y_i - g P_i \left( x_i - \frac{1}{m_i} \sum_{j \in \mathcal{N}_i} x_j \right) $，每个代理使用自身的输出和邻居状态。
• 利用不变子空间和不可观测子空间的性质分析误差动态，确保收敛性。
• 引入增益 $ g $，通过确保矩阵 $ A_V(\sigma(t)) $ 的特征值实部小于 $ -\lambda $ 来稳定误差系统，从而实现指数衰减。
• 应用矩阵扰动理论和李雅普诺夫分析，界定转移矩阵 $ \Phi_V(t,\tau) $，表明 $ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $。
• 利用类似拉普拉斯矩阵的结构 $ 2I_m - S(\sigma(t)) - S^\top(\sigma(t)) $，当 $ S(\sigma(t)) $ 为双随机矩阵时，该矩阵为负定。
• 通过平均化方法和切换系统理论，推导出关于 $ g $ 的线性不等式，以确保在停留时间或平均停留时间约束下实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种分布式观测器，以确保在时变通信网络中连续时间线性系统的状态估计误差实现指数收敛？
• RQ2 在切换拓扑下，网络拓扑和观测器增益 $ g $ 的何种条件可保证在预设速率 $ \lambda $ 下实现指数收敛？
• RQ3 双随机网络矩阵的选择如何影响在任意切换下分布式观测器的稳定性？
• RQ4 不可观测子空间和不变子空间的性质在构建和分析分布式观测器中起什么作用？
• RQ5 只要满足某些拓扑约束（如强连通性），是否可以独立于网络切换模式独立指定收敛速率？

主要发现

• 对于任意具有停留时间 $ \tau_D $ 的切换信号，存在一个正增益 $ g $，使得估计误差以用户指定速率 $ \lambda $ 指数收敛至零，前提是 $ g \geq \frac{\ln c + \lambda \tau_D}{\lambda^* \tau_D} $。
• 在平均停留时间 $ \tau_D $ 条件下，关于 $ g $ 的类似线性不等式可确保以速率 $ \lambda $ 实现指数收敛，其界取决于系统的谱特性。
• 当网络的随机矩阵 $ S(\sigma(t)) $ 为双随机矩阵且图强连通时，若 $ g $ 足够大，则对任意切换信号均可保证指数收敛。
• 误差动态的转移矩阵 $ \Phi_V(t,\tau) $ 满足 $ \|\Phi_V(t,\tau)\| \leq c e^{-\lambda(t-\tau)} $，这确保了估计误差的指数衰减。
• 该观测器设计对切换具有鲁棒性：只要网络保持强连通，收敛速率 $ \lambda $ 可以独立于切换模式预先指定。
• 通过李雅普诺夫分析和扰动系统性质，建立了合适增益 $ g $ 的存在性，特别是通过确保当 $ g $ 较大时，有 $ (\lambda I + A_V(\sigma(t))) + (\lambda I + A_V(\sigma(t)))^\top \prec 0 $。