[论文解读] A Family of Entropy-Conservative Flux Functions for the Euler Equations

Jason E. Hicken, Jared Crean|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出了一类用于欧拉方程的新熵守恒通量函数，其通过求解二次优化问题推导得出，实现了高阶、熵稳定的离散化，具有闭式表达式，计算高效。这些通量函数具有连续可微性，确保与高阶数值格式兼容。

ABSTRACT

Entropy-conservative numerical flux functions can be used to construct high-order, entropy-stable discretizations of the Euler and Navier-Stokes equations. The purpose of this short communication is to present a novel family of such entropy-conservative flux functions. The proposed flux functions are solutions to quadratic optimization problems and admit closed-form, computationally affordable expressions. We establish the properties of the flux functions including their continuous differentiability, which is necessary for high-order discretizations.

研究动机与目标

• 开发一类新的熵守恒通量函数族，以支持欧拉方程数值离散化中的高阶精度。
• 确保通量函数具有连续可微性，这是高阶方法的必要条件。
• 将通量函数表述为二次优化问题的解，以实现解析可处理性和计算效率。
• 为通量函数提供闭式表达式，兼具数学严谨性并适用于高阶格式的实现。
• 建立理论性质，如熵守恒和光滑性，这对高阶模拟中的稳定性至关重要。

提出的方法

• 通过求解一个强制熵守恒的二次优化问题来推导通量函数。
• 优化框架确保所得通量精确满足熵一致性条件。
• 优化问题的解产生闭式表达式，计算成本低廉且显式表达。
• 通量函数被构造为连续可微，以支持高阶空间离散化。
• 该方法应用于欧拉方程，确保在离散设置下熵的守恒。
• 该公式具有通用性，可推广至各种数值通量，并可集成到间断伽辽金或有限体积格式中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一类既保持熵守恒又连续可微的熵守恒通量函数族？
• RQ2 能否通过系统化的优化方法以闭式表达式推导出此类通量函数？
• RQ3 如何在保持数学严谨性的同时使所得通量计算高效？
• RQ4 所提出的公式能保证哪些性质，如光滑性和守恒性？
• RQ5 该方法能否推广到欧拉方程以外的其他双曲守恒律？

主要发现

• 所提出的通量函数在构造上即为熵守恒，确保高阶格式中离散熵的稳定性。
• 通量函数具有连续可微性，可支持高阶空间离散化而不损失精度。
• 为通量函数推导出闭式表达式，确保计算效率和实现便捷性。
• 通量函数源于求解二次优化问题，该过程保证了熵一致性和稳定性。
• 该方法为构造适用于双曲守恒律的熵守恒通量提供了一个系统化的框架。
• 该方法在数学上严谨，适合集成到高阶方法（如间断伽辽金格式）中。