[论文解读] A fast and robust discrete FFT-based solver for computational homogenization

A. Finel|arXiv (Cornell University)|May 18, 2024

Composite Material Mechanics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于离散傅里叶变换的新型计算均质化求解器，采用四面体模板以确保在任意弹性对比度（包括无限对比度）下均具有数学稳定性。该方法可保证无非物理振荡，支持完全各向异性和空间变化的材料场，并在基本迭代格式下实现快速收敛，即使在高对比度下也无需增加计算成本。

ABSTRACT

We propose a new discrete FFT-based method for computational homogenization of micromechanics on a regular grid that is simple, fast and robust. The discretization scheme is based on a tetrahedral stencil that displays three crucial properties. First, and most importantly, the Fourier representation of the associated Green operator is defined for any finite q-vector generated by the periodic boundary conditions and that does not belong to the Reciprocal Lattice of the discrete grids. As shown in the paper, this property guaranties that, for any elastic contrats, even infinite, mechanical equilibrium is always mathematically stable, i.e. free of any unphysical patterns, such as oscillations, ringing or checkerboarding, a property which is not shared by the original Moulinec-Suquet method \cite{moulinec1994fast,moulinec1998numerical} nor by the rotated scheme proposed by Willot \cite{willot2015fourier}. Second, the components of tensorial quantities are all defined on the same location, which permits the use of any elastic anisotropy and any spatial variation of the material fields. Third, convergence to equilibrium using the simplest iterative scheme, the "basic scheme", is fast and the number of iterates stabilizes at high contrasts, so that infinite contrast is obtained without additional computational cost.

研究动机与目标

• 开发一种适用于规则网格的稳定、快速且鲁棒的离散傅里叶变换基求解器，用于计算均质化。
• 解决现有基于傅里叶变换的方法在高对比度或无限对比度下常见的不稳定性问题，如振荡和棋盘状图案。
• 确保对于不在倒易晶格中的所有 q-向量，均具有数学稳定性，即使在无限对比度下亦然。
• 通过将所有张量分量置于同一网格位置，实现任意弹性各向异性和空间变化的材料场。
• 利用最简单的迭代格式实现快速收敛，且迭代次数在所有对比度下均保持稳定。

提出的方法

• 该方法采用四面体模板进行离散化，确保由周期性边界条件生成的所有 q-向量（除倒易晶格中的向量外）的格林算子傅里叶表示均被定义。
• 该模板设计保证了求解的数学稳定性，消除了如振铃效应或棋盘状图案等非物理模式。
• 所有张量量（如应力、应变）的分量均位于同一网格点上，从而实现对各向异性和空间变化材料特性的统一处理。
• 求解器使用基本迭代格式（定点迭代）求解利普曼-施温格方程，其收敛行为在高对比度下依然稳定。
• 即使在无限对比度条件下，该方法也无需额外的数值稳定化或滤波处理。
• 离散化公式确保格林算子在傅里叶空间中对所有相关 q-向量均保持良好定义且可逆，从而在所有材料对比度下均具备鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种离散傅里叶变换基求解器，使其在任意弹性对比度（包括无限对比度）下均保持无条件稳定，且不引入非物理振荡？
• RQ2 如何在相同网格上一致地定义张量分量，以支持任意各向异性和空间变化的材料场？
• RQ3 当材料对比度趋近于无穷大时，基本迭代格式的收敛速率是否仍保持稳定且快速？
• RQ4 该方法能否在不使用高级迭代格式或滤波技术的情况下，仍保持鲁棒性和准确性？
• RQ5 格林算子的傅里叶表示是否对所有不在倒易晶格中的 q-向量均良好定义，从而确保数学稳定性？

主要发现

• 所提出的方法通过确保格林算子的傅里叶表示对所有不在倒易晶格中的 q-向量均被定义，从而在所有弹性对比度（包括无限对比度）下保证了数学稳定性。
• 与原始的Moulinec-Suquet方法及Willot的旋转格式相比，该方法完全消除了如振荡、振铃或棋盘状图案等非物理模式。
• 使用基本迭代格式实现收敛所需的迭代次数保持稳定，且不随对比度增加而上升，即使在无限对比度下亦然。
• 由于所有张量分量均共置在同一网格上，该方法支持任意弹性各向异性和空间变化的材料场。
• 该求解器在不依赖高级迭代技术或额外滤波的情况下实现了快速收敛，兼具简洁性与高效性。
• 该方法在所有测试的材料对比度下均表现出鲁棒性，并保持高精度，无数值伪影。